Números complejos en forma polar: modulo y argumento

Hasta ahora hemos aprendido a trabajar con la forma binómica de los números complejos y hemos dado los pasos a seguir para representarlos en el plano complejo.

Lo que hacíamos era adjudicar un vector a cada número complejo, que determinábamos según sus partes real e imaginaria. Así pues, en el fondo estábamos representando vectores en el plano.

Pero los vectores en el plano pueden ser entendidos también como una longitud y un ángulo que los separa del eje horizontal. Por eso, los números imaginarios también se pueden entender como una longitud (que será el módulo) y un ángulo. Veamos cómo se construye.

Para representar un número complejo $z$ n forma polar se deben considerar el módulo y el argumento de éste. El módulo se refiere a la longitud del vector que lo representa en el plano, y el argumento se refiere al ángulo que forma con el eje horizontal.

Es decir, gráficamente sería:

Así, se tendrá que lo representaremos mediante un módulo y un argumento que escribiremos de la siguiente forma $z=|z|_{\alpha}$ donde:

• a $|z|$ se le llama módulo y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente real y la componente imaginaria. Se suele escribir $|z|$ o $r$ y se puede pensar como la distancia desde el origen hasta el número complejo $z$ si lo tenemos representado en el plano complejo. Así pues, se tiene: $$ |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$
• a $\alpha$ se le llama el argumento del número complejo $z$ y es el ángulo que forma el número complejo $z$ on el eje real (en sentido positivo) si lo tenemos representado en el plano complejo. Así pues, se tiene: $$\alpha=\arctan(\dfrac{b}{a})$$

Se tiene entonces que el argumento de un número complejo no es único, puesto que la expresión $\alpha=\arctan(\frac{b}{a})$ no determina unívocamente el argumente de un número, puesto que hay infinitos ángulos que cumplen la igualdad.

Ahora bien, si restringimos el valor de $\alpha$ para $0\leqslant\alpha< 2\pi$, hay dos ángulos que difieren en $\pi$ tienen la misma tangente. Para saber cuál de ellos es el argumento, tendremos en cuenta los signos de $a$ y $b$, de esta forma conseguiremos saber en que cuadrante está situado el vector del número complejo. Y nos dará el ángulo que buscamos.

• Si la parte real y la imaginaria son positivas, el complejo vive en el primer cuadrante.

Por ejemplo $5+9i$.

• Si la parte real es negativa y la imaginaria es positiva, el complejo vive en el segundo cuadrante.

Por ejemplo $-5+9i$.

• Si la parte real y la imaginaria son negativas, el complejo vive en el tercer cuadrante.

Por ejemplo $-5-9i$.

• Si la parte real es positiva y la imaginaria es negativa, el complejo vive en el cuarto cuadrante.

Por ejemplo $5-9i$.

Vamos a calcular el módulo y argumento del número $z=4+4\sqrt{3}i$.

El complejo $4+4\sqrt{3}i$ tiene por módulo: $$|4+4\sqrt{3}i|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+16\cdot3}=\sqrt{16+48}= \sqrt{64}=8$$

y el argumento es: $$\alpha=\arctan\Big(\dfrac{4\sqrt{3}}{4}\Big) =\arctan(\sqrt{3})=60^{\circ}$$

porqué tanto la parte real como la imaginaria son positivas y por lo tanto el complejo vive en el primer cuadrante.

De manera que para representarlo en forma polar este complejo es $$ z=|z|_{\alpha}=8_{60^{\circ}}$$

Esta manera de trabajar nos permite pasar de un número complejo expresado en forma binómica a un número complejo expresado en forma polar.