- Inicio
- Matrius
- Rang d'una matriu: mètode de Gauss
- Ejercicios
Rang d'una matriu: mètode de Gauss
Crear una matriu $4\times4$, amb la peculiaritat que una de les seves files sigui combinació lineal de les altres $3$. Calcular el rang de la matriu.
Creem la matriu $4\times4$: $$A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right)$$ Com es veu $f4=f1+f2+f3$.
Calculem el rang.
El primer és eliminar la fila combinació lineal de les altres, és a dir, eliminarem la fila $4$.
-Evidentment hi ha submatrius $1\times1$ no nul·les (tots els elements no nuls ho són).
-Hi ha submatrius $2\times2$ no nul·les? Sí $$\left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right| = 2 \neq 0 $$
-Hi ha submatrius $3\times3$ no nul·les? Sí $$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right| = -1 \neq 0 $$
$$\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right| = -2-2=-4 \neq 0 $$
Com que la matriu $4\times4$ sí que és nul·la (la fila $4$ és combinació lineal de les altres $3$ files) l'ordre de la major submatriu quadrada no nul·la és $3$.
Per tant, rang$(A)=3$.
$$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right)$$
rang$(A)=3$