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Rango de una matriz: método de Gauss
Crear una matriz $4\times4$, con la peculiaridad que una de sus filas sea combinación lineal de las otras $3$. Calcular el rango de la matriz.
Creamos la matriz $4\times4$: $$A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right)$$ Como se ve $f4=f1+f2+f3$.
Calculamos el rango.
Lo primero es eliminar la fila combinación lineal de las otras, es decir, eliminaremos la fila $4$.
-Evidentemente hay submatrices $1\times1$ no nulas (todos los elementos no nulos lo son).
-¿Hay submatrices $2\times2$ no nulas? Sí $$\left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right| = 2 \neq 0 $$
-¿Hay submatrices $3\times3$ no nulas? Sí $$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right| = -1 \neq 0 $$
$$\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right| = -2-2=-4 \neq 0 $$
Como la matriz $4\times4$ sí es nula (la fila $4$ es combinación lineal de las otras $3$ filas) el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula es $3$.
Por lo tanto, rang$(A)=3$.
$$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \end{array} \right)$$
rang$(A)=3$