Interpolació d'Hermite

El polinomi d'Hermite és aquell que interpola una col·lecció de punts i el valor de les seves derivades en els punts que desitgem. És a dir, suposem que tenim $(x_k,f_k)$ i $(x_k,f'_k)$.

Llavors construïm la mateixa taula que en el mètode de Newton, posant a la primera columna els $x_k$, escrivint dues vegades el mateix punt si coneixem el valor de la derivada en aquest punt, i a la segona columna els valors de $f$ corresponent a la $x$ de la mateixa fila. És a dir, si coneixem el valor de $f$ en $x_0$ i el de la seva derivada també, escriurem dues vegades $x_0$ i al costat de cada un $f_0$. Per exemple,

$x_0$	$f_0$
$x_0$	$f_0$
$x_1$	$f_1$
$x_1$	$f_1$

A partir d'aquí procedim de la mateixa forma, però amb la diferència que definim $f[x_i,x_i]=f'_i$, el valor de la derivada en $x_i$.

$x_0$	$f_0$
		$f'_0$
$x_0$	$f_0$		$f[x_0,x_0,x_1]$
		$f[x_0,x_1]$		$f[x_0,x_0,x_1,x_1]$
$x_1$	$f_1$		$f[x_0,x_1,x_1]$
		$f'_1$
$x_1$	$f_1$

Per tant, si disposem de $n +1$ valors de la funció i $n +1$ valors de les derivades, el polinomi d'Hermite tindrà grau $2n +1$.

Considerem un exemple:

Suposem que volem calcular $f\Big(\dfrac{1}{8}\Big)$ on $f(x)=\tan(\pi x)$ a partir d'interpolació d'Hermite en $0,\dfrac{1}{4}$.

Per aconseguir-ho, escrivim una taula com en la interpolació de Newton però repetint cada dada de la que coneguem la seva derivada. És a dir:

$0$	$0$
		$f'(0)=\pi$
$0$	$0$		$\dfrac{4-\pi}{\dfrac{1}{4}-0}=16-4\pi$
		$\dfrac{1-0}{\dfrac{1}{4}-0}=4$		$\dfrac{8\pi-16-16+4\pi}{\dfrac{1}{4}-0}=148\pi-128$
$\dfrac{1}{4}$	$1$		$\dfrac{2\pi-4}{\dfrac{1}{4}-0}=8\pi-16$
		$f'\Big( \dfrac{1}{4} \Big) = 2\pi$
$\dfrac{1}{4}$	$1$

Procedint de la mateixa manera que en interpolació de Newton, obtenim: $$ P_3(x)= \pi x +(16-4\pi)x^2+ (48\pi-128)x^2\Big( x-\dfrac{1}{4}\Big)$$

Ara, $$\tan\Big(\dfrac{\pi}{8}\Big)\approx P_3\Big(\dfrac{1}{8}\Big)=0.4018\dots$$

Practicar exercicis