Teorema de Fubini

Quan tenim una funció contínua de diverses variables -que anomenem $f(x,y)$- podem realitzar la seva integral en una regió del pla - que anomenem $R$ - en lloc d'en un interval $[a,b]$ amb el que estem acostumats a treballar.

Escriurem llavors , $\displaystyle\int_R f(x,y) \ dA$ on $R$ és la regió d'integració i $dA$ és un "diferencial d'àrea".

En aquest tipus d'integrals, es compleixen les següents propietats:

$$\displaystyle \int_R K\cdot f(x,y) \ dA=K\cdot \int_R f(x,y) \ dA$$ on $K$ és una constant.

$$\displaystyle \int_R f(x,y) \pm g(x,y) \ dA = \int_ R f(x,y) \ dA \pm \int_R g(x,y) \ dA$$

Si $R=R_1\cup R_2$, és a dir si $R$ és la unió disjunta de $R_1$ i $R_2$ $$\displaystyle\int_R f(x,y) \ dA= \int_{R_1} f(x,y) \ dA + \int_{R_2} f(x,y) \ dA$$

En el cas que estiguem integrant en un rectangle del pla $[a,b] \times [c,d]$, podem escriure la integral: $$\displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) \ dxdy$$

Cal tenir en compte que en aquest cas, $[a,b]$ és l'interval d'integració en l'eix de les $x$, mentre que $[c,d]$ és l'interval d'integració en l'eix de les $y$.

En aquest cas escriurem $$\displaystyle \int_c^d\Big( \int_a^b f(x,y) \ dx\Big)dy= \int_a^b\Big( \int_c^d f(x,y) \ dy\Big)dx$$

Aquesta propietat s'anomena el teorema de Fubini.

Per calcular aquestes integrals, realitzarem primer la integral de dins, prenent l'altra variable com una constant, i després, amb la primera variable eliminada, integrem respecte a la segona.

$$\displaystyle \int_0^1\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^y\sin x \ dxdy=\int_0^1e^y\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \ dxdy \int e^y\Big[-\cos x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \ dy=$$ $$\int_0^1 e^y \ dy= \Big[e^y \Big]_0^1e-1$$