Teorema de Fubini

Cuando tenemos una función continua de varias variables, - llamémosla $f(x,y)$- podemos realizar su integral en una región del plano - llamémosla $R$ - en lugar de en un intervalo $[a,b]$ con el que estamos acostumbrados a trabajar.

Escribiremos entonces , $\displaystyle\int_R f(x,y) \ dA$ donde $R$ es la región de integración y $dA$ es un "diferencial de área".

En este tipo de integrales, se cumplen las siguientes propiedades:

$$\displaystyle \int_R K\cdot f(x,y) \ dA=K\cdot \int_R f(x,y) \ dA$$ donde $K$ es una constante.

$$\displaystyle \int_R f(x,y) \pm g(x,y) \ dA = \int_ R f(x,y) \ dA \pm \int_R g(x,y) \ dA$$

Si $R=R_1\cup R_2$, es decir si $R$ es la unión disjunta de $R_1$ y $R_2$ $$\displaystyle\int_R f(x,y) \ dA= \int_{R_1} f(x,y) \ dA + \int_{R_2} f(x,y) \ dA$$

En el caso de que estemos integrando en un rectángulo del plano $[a,b] \times [c,d]$, podemos escribir la integral: $$\displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) \ dxdy$$

Hay que tener en cuenta que en este caso, $[a,b]$ es el intervalo de integración en el eje de las $x$, mientras que $[c,d]$ es el intervalo de integración en el eje de las $y$.

En este caso escribiremos $$\displaystyle \int_c^d\Big( \int_a^b f(x,y) \ dx\Big)dy= \int_a^b\Big( \int_c^d f(x,y) \ dy\Big)dx$$

Esta propiedad se llama el teorema de Fubini.

Para calcular estas integrales, realizaremos primero la integral de dentro, tomando la otra variable como una constante, y luego, con la primera variable eliminada, integramos respecto a la segunda.

$$\displaystyle \int_0^1\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^y\sin x \ dxdy=\int_0^1e^y\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \ dxdy \int e^y\Big[-\cos x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \ dy=$$ $$\int_0^1 e^y \ dy= \Big[e^y \Big]_0^1e-1$$