Integrals quasi immediates

Una integral quasi immediata és una integral de la forma:$$\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \ dx$$ on $f (x)$ és una funció i $u(x)$ és una altra funció, i $u' (x)$ la seva derivada. Cal observar que és com aplicar el contrari a la regla de la cadena (recordem el tema sobre derivades).

És a dir, si tenim una funció $F(x)$, la derivada és $f(x)$, i canviem $x$ per una altra funció $u(x)$, la derivada de $F(u(x))$ és $f(u(x)) \cdot u' (x)$. Llavors, la integral de $f(u(x))\cdot u'(x)$ serà $F(u(x))$.

Una integral d'aquesta manera pot ser resolta com una integral immediata, com veurem en els següents exemples:

En el primer cas, veiem per exemple que tenim una integral immediata, excepte per una constant, llavors realitzem la integral multiplicant i dividint per aquesta constant, per tal de poder utilitzar aquesta "regla de la cadena", de la forma següent:

$\displaystyle \int e^{3x} \ dx = \frac{1}{3} \int 3 \ cdot e^{3x} \ dx = \frac{1}{3} e^{3x}+C$, doncs $3$ és la derivada de $3x$.

$\displaystyle \int \cos 15x \ dx = \frac{1}{15} \int 15 \cos 15x \ dx = \frac{1}{15} \ sin 15 x +C$ , doncs $15$ és la derivada de $15x$.

En altres casos, el procediment no resulta tan senzill, però el problema moltes vegades es redueix a trobar la manera de convertir la integral en una integral immediata, farem això a l'hora de resoldre una integral sempre que sigui possible:

$$\displaystyle \int \frac{1}{4+x^2} \ dx = \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}= \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\Big(\frac{x}{2}\Big)^2} \ dx = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{2}}{1+\Big(\frac{x}{2}\Big)^2} \ dx =$$

$= \dfrac {1}{2}\arctan \dfrac{x}{2}+C$, on $\dfrac{1}{2}$ és la derivada de $\dfrac{x}{2}$.

$\displaystyle \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} \ dx = \int \frac{e^x}{1+(e^x) ^2} \ dx = \arctan e^x +C$, on $e^x$ és la derivada de $e^x$.

$\displaystyle \int \frac{\sin \sqrt{x^3}}{\sqrt{x^3}} \cdot x^2 \ dx = \frac{2}{3} \int \sin \sqrt{x^3} \cdot \frac{3x^2}{2\sqrt {x^3}} \ dx = -\frac{2}{3} \cos \sqrt{x^3} +C$, doncs $\frac{3 x^2}{2 \sqrt {x^3}}$ és la derivada de $\sqrt {x^3}$.

$\displaystyle \int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}} \ dx = \arcsin e^x+ C$, on $e^x$ és la derivada de $e^x$.

$\displaystyle \int \sin x^2 \cdot 2x \ dx = -\cos x^2+C$, on $2x$ és la derivada de $x^2$.

$\displaystyle \int \sin^2 x \cdot \cos x \ dx = \frac{\sin ^3 x}{3}+C$ doncs $\cos x$ és la derivada de $sin x$.

Formulari

$\displaystyle \int f^n (x) \cdot f'(x) \ dx = \frac {f^{n+1}(x)}{n+1}+C$, si $n \neq -1$. Casos particulars: $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \ dx = 2\sqrt{f(x)}+C$ $\displaystyle \int a^{f(x)} f'(x) \ dx= \frac{1}{\ln a} a^{f(x)}+C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \ dx = \ln |f(x)| +C$

Funcions trigonomètriques

$\displaystyle \int \sin (f(x)) \cdot f'(x) \ dx= -cos f(x) +C$ $\displaystyle \int \cos f(x) \cdot f'(x) \ dx= \sin f(x) +C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\cos^2 f(x)} \ dx = \tan f(x) +C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}} \ dx= \arcsin f(x)+C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{1+f(x)^2} \ dx = \arctan f(x) +C$

Funcions hiperbòliques

$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{(f'(x))^2+1}} \ dx= \sinh^{-1} f(x)+C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{(f'(x))^2-1}} \ dx= \cosh^{-1} f(x)+C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{1-f(x)^2} \ dx= \tanh^{-1} f(x)+C$