Integrales casi inmediatas

Una integral casi inmediata es una integral de la forma:$$\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \ dx$$ donde $f (x)$ es una función y $u(x)$ es otra función, y $u' (x)$ su derivada. Hay que observar que es como aplicar el contrario a la regla de la cadena (recordemos el tema sobre derivadas).

Es decir, si tenemos una función $F(x)$, cuya derivada es $f(x)$, y cambiamos $x$ por otra función $u(x)$, la derivada de $F(u(x))$ es $f(u(x)) \cdot u' (x)$. Entonces, la integral de $f(u(x))\cdot u'(x)$ será $F(u(x))$.

Una integral de esta forma puede ser resuelta como una integral inmediata, como veremos en los siguientes ejemplos:

En el primer caso, vemos por ejemplo que tenemos una integral inmediata, salvo por una constante, entonces realizamos la integral multiplicando y dividiendo por esa constante, para así poder usar esta "regla de la cadena":

$\displaystyle \int e^{3x} \ dx = \frac{1}{3} \int 3 \ cdot e^{3x} \ dx = \frac{1}{3} e^{3x}+C$, pues $3$ es la derivada de $3x$.

$\displaystyle \int \cos 15x \ dx = \frac{1}{15} \int 15 \cos 15x \ dx = \frac{1}{15} \ sin 15 x +C$ , pues $15$ es la derivada de $15x$.

En otros casos, el procedimiento no resulta tan sencillo, pero el problema muchas veces se reduce a encontrar la manera de convertir la integral en una integral inmediata, haremos esto a la hora de resolver una integral siempre que sea posible:

$$\displaystyle \int \frac{1}{4+x^2} \ dx = \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}= \int \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\Big(\frac{x}{2}\Big)^2} \ dx = \frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{2}}{1+\Big(\frac{x}{2}\Big)^2} \ dx =$$

$= \dfrac {1}{2}\arctan \dfrac{x}{2}+C$, donde $\dfrac{1}{2}$ es la derivada de $\dfrac{x}{2}$.

$\displaystyle \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} \ dx = \int \frac{e^x}{1+(e^x) ^2} \ dx = \arctan e^x +C$, donde $e^x$ es la derivada de $e^x$.

$\displaystyle \int \frac{\sin \sqrt{x^3}}{\sqrt{x^3}} \cdot x^2 \ dx = \frac{2}{3} \int \sin \sqrt{x^3} \cdot \frac{3x^2}{2\sqrt {x^3}} \ dx = -\frac{2}{3} \cos \sqrt{x^3} +C$, pues $\frac{3 x^2}{2 \sqrt {x^3}}$ es la derivada de $\sqrt {x^3}$.

$\displaystyle \int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}} \ dx = \arcsin e^x+ C$, donde $e^x$ es la derivada de $e^x$.

$\displaystyle \int \sin x^2 \cdot 2x \ dx = -\cos x^2+C$, donde $2x$ es la derivada de $x^2$.

$\displaystyle \int \sin^2 x \cdot \cos x \ dx = \frac{\sin ^3 x}{3}+C$ pues $\cos x$ es la derivada de $sin x$.

Formulario

$\displaystyle \int f^n (x) \cdot f'(x) \ dx = \frac {f^{n+1}(x)}{n+1}+C$, si $n \neq -1$. Casos particulares: $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \ dx = 2\sqrt{f(x)}+C$ $\displaystyle \int a^{f(x)} f'(x) \ dx= \frac{1}{\ln a} a^{f(x)}+C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \ dx = \ln |f(x)| +C$

Funciones trigonométricas

$\displaystyle \int \sin (f(x)) \cdot f'(x) \ dx= -cos f(x) +C$ $\displaystyle \int \cos f(x) \cdot f'(x) \ dx= \sin f(x) +C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\cos^2 f(x)} \ dx = \tan f(x) +C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}} \ dx= \arcsin f(x)+C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{1+f(x)^2} \ dx = \arctan f(x) +C$

Funciones hiperbólicas

$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{(f'(x))^2+1}} \ dx= \sinh^{-1} f(x)+C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{\sqrt{(f'(x))^2-1}} \ dx= \cosh^{-1} f(x)+C$ $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{1-f(x)^2} \ dx= \tanh^{-1} f(x)+C$