Integrals per fraccions simples

• El grau del numerador és menor que el del denominador, i per tant no cal fer la divisió de polinomis.

• $\dfrac{x+4}{x^2-5x+3}=\dfrac{x+4}{(x-2)(x-3)}$

• $\dfrac{x+4}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}$

• $\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}=\dfrac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}$

$x=Ax+Bx$, per a tot $x$, així que tenim la igualtat $1=A+B$ i també $4=-3A-2B$.

• Resolent el sistema $\begin{array} {ll} 1=A+B \\ 4=-3A-2B \end{array}$ tenim $A =-6$ i $B=5$.

• Tenim que $\dfrac{x+4}{x^2-5x+3}=\dfrac{-6}{x-2}+\dfrac{5}{x-3}$, i llavors

$$\int \frac{x+4}{x^2-5x+3} \ dx=\int\dfrac{-6}{x-2}+\dfrac{5}{x-3} \ dx=\int\dfrac{-6}{x-2} \ dx+ \int\dfrac{5}{x-3} \ dx=$$ $$=-6\cdot\ln|x-2|+5\cdot\ln|x-3|+C$$