Integrals immediates de polinomis

Les integrals immediates són el tipus d'integrals més simples que hi ha, ja que es resolen aplicant el que ja sabem: que integrar és essencialment el contrari de derivar.

Són les integrals de funcions del tipus $k \cdot x^n$, on $k$ és una constant i $n$ és un nombre qualsevol diferent de $-1$.

Tenim llavors que :$$\displaystyle \int k \cdot x^n \ dx= k \cdot \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ doncs si derivem el resultat: $$\dfrac{d}{dx}\Big(k \cdot \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\Big)=\dfrac{d}{dx}\Big(k \cdot \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big)+\dfrac{d}{dx}C= k\cdot \dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big)=$$ $$= k \cdot \dfrac{(n+1)x^n}{n+1}=k \cdot x^n$$

$\displaystyle \int x \ dx= \dfrac{x^2}{2}+C$, doncs $\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{x^2}{2}+C\Big)=x$

$\displaystyle \int x^2 \ dx= \dfrac{x^3}{3}+C$, doncs $\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{x^3}{3}+C\Big)=x^2$

$\displaystyle \int x^3 \ dx= \dfrac{x^4}{4}+C$, doncs $\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{x^4}{4}+C\Big)=x^3$

$\displaystyle \int 23x^5 \ dx= 23\dfrac{x^6}{6}+C$, doncs $\dfrac{d}{dx}\Big(23\dfrac{x^6}{6}+C\Big)=23 \cdot \dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{x^6}{6}\Big)=23 \cdot 6 \cdot \dfrac{x^{6-1}}{6}=23 \cdot x^5$

$\displaystyle \int \sqrt{x} \ dx = \int x^{\frac{1}{2}}=\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\dfrac{1}{2}+1}+C=\dfrac{x^\frac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}}+C=\dfrac{2}{3}x^\frac{3}{2}$, doncs $\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{2}{3}x^\frac{3}{2}+C\Big)=\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{2}{3}x^\frac{3}{2}\Big)+\dfrac{d}{dx}C=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{d}{dx}x^\frac{2}{3}=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{2}x^\frac{1}{2}=x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}$

$\displaystyle \int \sqrt[3]{425} \cdot x^\frac{2}{3} \ dx= \sqrt[3]{425} \cdot \dfrac{x^\frac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}}+C$, doncs $\dfrac{d}{dx}\Big(\sqrt[3]{425} \cdot \dfrac{x^\frac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}}+C\Big)=\dfrac{d}{dx}\Big(\sqrt[3]{425} \cdot \dfrac{x^\frac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}}\Big)+\dfrac{d}{dx}\Big(C\Big)=\sqrt[3]{425} \cdot \dfrac{d}{dx}\Big( \dfrac{x^\frac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}}\Big)=$

$$=\sqrt[3]{425} \cdot x^\frac{2}{3}$$

$\displaystyle \int 15x^{-2} \ dx= 15\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=-15\dfrac{1}{x}+C$, doncs $\dfrac{d}{dx}\Big(-15\dfrac{1}{x}\Big)=-15 \cdot \dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{1}{x}\Big)=-15 \cdot \dfrac{x^{-2}}{-1}=15 \cdot x^{-2}$