Integral sobre una superfície

Sigui $S$ una superfície parametritzada per la funció $\varphi (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, i $f$ una funció definida en tots els punts de la superfície, llavors:

Si $f$ és un camp escalar (és a dir, si $f (x, y, z)$ pertany als nombres reals)

Llavors,$$\displaystyle \int_S f\cdot dL=\int_D f(\varphi(u,v)) \cdot ||T_u \times T_v|| \ dudv$$

on, $$\displaystyle \begin{array}{l} T_u=\Big( \frac{d}{du} x(u,v), \frac{d}{du}y(u,v), \frac{d}{du}z(u,v) \\ T_v=\Big( \frac{d}{dv} x(u,v), \frac{d}{dv}y(u,v), \frac{d}{dv}z(u,v) \Big)\end{array}$$

i $D$ és una regió del pla real on està definida $\varphi$.

Si $F$ és un camp vectorial, $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$

Llavors, $$\displaystyle \int_S F \cdot dS=\int_Df(\varphi(u,v)) \cdot (T_u \times T_v) \ dudv$$ És a dir, la integral de $F$ a la superfície $S$ és el producte escalar de la funció, composta amb la parametrització, pel producte vectorial dels vectors $T_u$ i $T_v$.

Procediment:

1. Prendre la parametrització de la superfície $S$, i calcular els seus vectors $T_u$, $T_v$. Amb ells fer el producte vectorial.
2. Substituir $x$, $y$ i $z$ per $x (u, v)$, $y(u, v)$ i $z (u, v)$ en la funció $F$, d'acord amb la parametrització donada.
3. Calcular el producte escalar dels resultats dels passos 1 i 2.
4. Calculeu la integral resultant.