Integral sobre una superficie

Sea $S$ una superfície parametrizada por la función $\varphi (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, y $f$ una función definida en todos los puntos de la superficie, entonces:

Si $f$ es un campo escalar (es decir, si $f (x, y, z)$ pertenece a los números reales)

Entonces,$$\displaystyle \int_S f\cdot dL=\int_D f(\varphi(u,v)) \cdot ||T_u \times T_v|| \ dudv$$

donde, $$\displaystyle \begin{array}{l} T_u=\Big( \frac{d}{du} x(u,v), \frac{d}{du}y(u,v), \frac{d}{du}z(u,v) \\ T_v=\Big( \frac{d}{dv} x(u,v), \frac{d}{dv}y(u,v), \frac{d}{dv}z(u,v) \Big)\end{array}$$

y $D$ es una región del plano real donde $\varphi$ está definida.

Si $F$ es un campo vectorial, $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$

entonces, $$\displaystyle \int_S F \cdot dS=\int_Df(\varphi(u,v)) \cdot (T_u \times T_v) \ dudv$$ Es decir, la integral de $F$ en la superficie $S$ es el producto escalar de la función, compuesta con la parametrización, por el producto vectorial de los vectores $T_u$ y $T_v$.

Procedimiento:

1. Tomar la parametrización de la superficie $S$, y calcular sus vectores $T_u$, $T_v$. Con ellos hacer el producto vectorial.
2. Sustituir $x$, $y$ y $z$ by $x (u, v)$, $y(u, v)$ y $z (u, v)$ en la función $F$, de acuerdo con la parametrización dada.
3. Calcular el producto escalar de los resultados de los pasos 1 y 2.
4. Calcular la integral resultante.