Integral indefinida

Sabem alguns aspectes sobre la derivació d'una funció: si $F(x)$ és una funció, denotem $F'(x)$ a la seva derivada. El problema que abordem ara és el problema invers, és a dir, a partir d'una derivada, anomenem-la $f(x)$, trobar quina funció $F(x)$ té com a derivada a $f(x)$. És a dir, $F'(x)=f(x)$.

Altrament, escriurem $\displaystyle\int f(x) \ dx=F(x)$, que vol dir que $f(x)$ és la derivada de $F(x)$ respecte a la variable $x$. Llavors, $F(x)$ és la integral indefinida, funció primitiva, o antiderivada de $f (x)$.

Observem que escrivim el símbol $\displaystyle\int$ per dir que estem integrant, i $dx$ per fer notar sobre quina variable estem integrant. En alguns casos podria ometre's aquest $dx$ però per no causar confusions cal escriure'l sempre.

Vegem ara algunes propietats importants de la integral indefinida:

• Sabem que la derivada d'una constant $C$ és $\dfrac{d}{dx}C=0$. Per tant, donada $f(x)$, tenim una funció primitiva $\dfrac{d}{dx}F(x)=F'(x)=f(x)$, però llavors també $F (x) +C$ és una primitiva vàlida perquè sabem que $\dfrac{d}{dx}(F(x)+C)=f(x)$. Per tant, la primitiva o antiderivada d'una funció no és única. I al calcular sempre donarem el resultat com: $\displaystyle\int f(x) \ dx=F(x)+C$, on $C$ es diu constant d'integració. Notem que no s'ha d'oblidar mai aquesta constant.

• La integral, així com la derivada, compleix les propietats de linealitat , és a dir:

  • $\displaystyle \int k \cdot f(x) \ dx = k \cdot \int f(x) \ dx$
  • $\displaystyle\int (f(x)+g(x)) \ dx=\int f(x) \ dx + \int g(x) \ dx$