Integral indefinida

Sabemos algunos conceptos sobre la derivación: si $F(x)$ es una función, denotamos $F'(x)$ a su derivada, y se calcula según las reglas ya vistas con anterioridad. El problema que abordamos ahora es el problema inverso, es decir, a partir de una derivada, llamémosla $f(x)$, encontrar qué función $F(x)$ tiene como derivada a $f(x)$. O sea, $F'(x)=f(x)$.

De otra forma, escribiremos $\displaystyle\int f(x) \ dx=F(x)$, que significa que $f(x)$ es la derivada de $F(x)$ respecto a la variable $x$. Entonces, $F(x)$ es la integral indefinida, función primitiva, o antiderivada de $f (x)$.

Observemos que escribimos el símbolo $\displaystyle\int$ para decir que estamos integrando, y $dx$ para hacer notar sobre qué variable estamos antiderivando. En algunos casos podría omitirse este $dx$, pero para no causar confusiones hay que escribirlo siempre.

Veamos ahora algunas propiedades importantes de la integral indefinida:

• Sabemos que la derivada de una constante $C$ es $\dfrac{d}{dx}C=0$. Por lo tanto, dada $f(x)$, tenemos una función primitiva $\dfrac{d}{dx}F(x)=F'(x)=f(x)$, pero entonces también $F (x) +C$ es una primitiva válida porque sabemos que $\dfrac{d}{dx}(F(x)+C)=f(x)$. Por lo tanto, la primitiva o antiderivada de una función no es única. Y al calcularlas siempre daremos el resultado como: $\displaystyle\int f(x) \ dx=F(x)+C$, donde $C$ se llama constante de integración. Notemos que no se debe olvidar nunca esta constante.

• La integral, así como la derivada, cumple las propiedades de linealidad, es decir:

  • $\displaystyle \int k \cdot f(x) \ dx = k \cdot \int f(x) \ dx$
  • $\displaystyle\int (f(x)+g(x)) \ dx=\int f(x) \ dx + \int g(x) \ dx$