Integral definida i regla de Barrow

Què és una integral definida? Partirem d'una funció $f (x)$, de la qual coneixem els valors (acotats) en un interval tancat $[a, b]$.

Ara, si dividim aquest interval $n$ intervals més petits, i en cada subinterval dibuixem un rectangle d'alçada igual al valor de la funció en el punt mig del subinterval, obtenim el que es pot veure en el gràfic següent:

Prenent més subintervals (prenent $n$ major), aquests seran més estrets. Llavors, definim la integral definida de $f(x)$ entre $a$ i $b$ com la suma de les àrees d'aquests rectangles, quan el nombre de subintervals tendeix a infinit (és a dir, l'amplada dels rectangles tendeix a zero). I escriurem

$$\displaystyle \int_{x}^b f(x) \ dx$$

La integral indefinida verifica les següents propietats:

• Linealitat de l'integrant: donades dues funcions $f (x)$ i $g (x)$ definides en l'interval $[a, b]$, i $K$ una constant qualsevol, llavors $$\displaystyle \begin{array} {l}\int_{a}^b f(x) \pm g(x) \ dx= \int_{a}^b f(x) \ dx \pm \int_{a}^b g(x) \ dx \\ \int_{a}^b K \cdot f(x) \ dx= K \cdot \int_{a}^b f(x) \ dx \end{array}$$

• Propietat additiva de l'interval: Si $f(x)$ està definida en $[a, b]$ i $c$ pertany a l'interval $[a, b]$, llavors: $$\displaystyle \int _{a}^b f(x) \ dx = \int _{a}^c f(x) \ dx + \int _{c}^b f(x) \ dx$$ Aquesta propietat ens serà molt útil per calcular integrals de funcions contínues a trossos, com veurem en algun exemple més tard. D'aquesta propietat també es dedueix que$$\displaystyle \int _{a}^b f(x) \ dx =0$$

Un cop sabem què és una integral indefinida, vegem com calcular-la:

Primer teorema fonamental del càlcul i regla de Barrow

Sigui $f(x)$ una funció, i $F (x)$ la seva primitiva (o antiderivada o integral indefinida). Llavors $F(x)=\int_{a}^x f(x) \ dx +C$. Com que $F(a)=\int_{a}^a f(x) \ dx +C=0+C$, tenim que $C=F(a)$ i $F(x)-F(a)=\int_{a}^x f(x) \ dx$, en particular: $$ F(x)=\int_{a}^b f(x) \ dx +=F(b)-F(a)$$.

És a dir, que calcular la integral definida de $f(x)$ en l'interval $[a, b]$ és tan fàcil com trobar una primitiva de $f(x)$, calcular el seu valor en els extrems de l'interval, i restar-los.

Vegem alguns exemples:

$$\displaystyle \int_{0}^1 x^2 \ dx=\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{0}^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$$ on $\dfrac{x^3}{3}$ és la primitiva de $x^2$ i $\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]$ significa evaluar $\dfrac{x^3}{3}$ en $1$ i en $0$ i restar els valors.

$$\displaystyle \int_{0}^2 e^{3x} \ dx = \dfrac{1}{3} \int_{0}^2 3e^{3x} \ dx=\dfrac{1}{3}[e^{3x}]_{0}^2=\dfrac{1}{3}(e^{3\cdot 2}-e^{3 \cdot 0})=\dfrac{1}{3}(e^6-e^0)=\dfrac{1}{3}(e^6-1)$$

$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \ dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac {\sin x}{\cos x} \ dx=-\Big[\ln (\cos x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=-\ln (\cos \frac{\pi}{4})+\ln (\cos 0)=$$ $$=-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}+\ln 1=\frac{1}{2}\ln 2$$