Integral definida y regla de Barrow

Qué es una integral definida? Partiremos de una función $f (x)$, cuyos valores (acotados) conocemos en un intervalo cerrado $[a, b]$.

Ahora, si dividimos este intervalo en $n$ intervalos más pequeños, y en cada subintervalo dibujamos un rectángulo de altura igual al valor de la función en el punto medio del subintervalo, obtenemos lo que se puede ver en el gráfico siguiente:

Tomando más subintervalos (tomando $n$ mayor), éstos serán más estrechos. Entonces, definimos la integral definida de $f(x)$ entre $a$ y $b$ como la suma de las áreas de éstos rectángulos, cuando el número de subintervalos tiende a infinito (es decir, la anchura de los rectángulos tiende a cero). Y escribiremos

$$\displaystyle \int_{x}^b f(x) \ dx$$

La integral indefinida verifica las siguientes propiedades:

• Linealidad del integrando:dadas dos funciones $f (x)$ y $g (x)$ definidas en el intervalo $[a, b]$, y $K$ una constante cualquiera, entonces $$\displaystyle \begin{array} {l}\int_{a}^b f(x) \pm g(x) \ dx= \int_{a}^b f(x) \ dx \pm \int_{a}^b g(x) \ dx \\ \int_{a}^b K \cdot f(x) \ dx= K \cdot \int_{a}^b f(x) \ dx \end{array}$$

• Propiedad aditiva del intervalo: Si $f(x)$ está definida en $[a, b]$ y $c$ pertenece al intervalo $[a, b]$, entonces: $$\displaystyle \int _{a}^b f(x) \ dx = \int _{a}^c f(x) \ dx + \int _{c}^b f(x) \ dx$$ Esta propiedad nos será muy útil para calcular integrales de funciones continuas a trozos, como veremos en algún ejemplo más tarde. De esta propiedad también se deduce que$$\displaystyle \int _{a}^b f(x) \ dx =0$$

Una vez sabemos qué es una integral indefinida, veamos cómo calcularlas:

Primer teorema fundamental del cálculo y regla de Barrow

Sea $f(x)$ una función, y $F (x)$ su primitiva (o antiderivada, o integral indefinida). Entonces $F(x)=\int_{a}^x f(x) \ dx +C$. Como $F(a)=\int_{a}^a f(x) \ dx +C=0+C$, tenemos que $C=F(a)$ and $F(x)-F(a)=\int_{a}^x f(x) \ dx$, en particular: $$ F(x)=\int_{a}^b f(x) \ dx +=F(b)-F(a)$$.

Es decir, que calcular la integral definida de $f(x)$ en el intervalo $[a, b]$ es tan fácil como encontrar una primitiva de $f(x)$, calcular su valor en los extremos del intervalo, y restarlos.

Veamos algunos ejemplos:

$$\displaystyle \int_{0}^1 x^2 \ dx=\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{0}^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$$ donde $\dfrac{x^3}{3}$ es la primitiva de $x^2$ y $\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]$ significa evaluar $\dfrac{x^3}{3}$ en $1$ y en $0$ y restar los valores.

$$\displaystyle \int_{0}^2 e^{3x} \ dx = \dfrac{1}{3} \int_{0}^2 3e^{3x} \ dx=\dfrac{1}{3}[e^{3x}]_{0}^2=\dfrac{1}{3}(e^{3\cdot 2}-e^{3 \cdot 0})=\dfrac{1}{3}(e^6-e^0)=\dfrac{1}{3}(e^6-1)$$

$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \ dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac {\sin x}{\cos x} \ dx=-\Big[\ln (\cos x)\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=-\ln (\cos \frac{\pi}{4})+\ln (\cos 0)=$$ $$=-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}+\ln 1=\frac{1}{2}\ln 2$$