Integral al llarg d'una corba

Sigui $C$, parametritzada per $\gamma (t)$ en l'interval $[a, b]$, i una funció $f$ definida en aquest interval, llavors:

Si $f$ és un camp escalar (és a dir, si $f (x, y, z)$ pertany als nombres reals). Llavors: $$\displaystyle \int_C f \cdot dL= \int_a^b f(\gamma(t)) \ ||\gamma '(t)|| dt$$

És a dir, la integral de $f$ al llarg de la corba $C$ és la integral entre $a$ i $b$ de la funció formada amb la parametrització, multiplicada per la norma de la derivada de la parametrització.

Procediment

  1. Prendre la parametrització de la superfície $C$, calcular la derivada d'aquesta, i la norma de la derivada.
  2. Substituir $x$, $y$ i $z$ per $x (t)$, $y (t)$ i $z (t)$ en la funció $f$, d'acord amb la parametrització donada.
  3. Calculeu la integral resultant.

Calcular la integral de la funció $f(x, y, z)=z$ al llarg de la corba $\gamma (t) = (t\cos t, t \sin t , t)$ , que és una parametrització d'una espiral amb una forma semblant a un "tornado".

  1. $\displaystyle \gamma '(t)=(\cos t-t \sin t, \sin t + \cos t, 1 )$, $\displaystyle ||\gamma '(t)||=\sqrt{(\cos t- t \sin t)^2+(\sin t +t \cos t)^2+1^2 }=\sqrt{2+t^2}$

  2. $\displaystyle f(\gamma(t))=t$

  3. $\displaystyle \int_0^{2\pi}f(\gamma(t)) ||\gamma '(t)|| \ dt=\int_0^{2\pi} t\cdot \sqrt{2+t^2} \ dt= \frac{1}{3}\Big[(2+t^2)^\frac{3}{2}\Big]_0^{2\pi}$

Si $F$ és un camp vectorial $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$. Llavors, $$\displaystyle \int_CF \cdot dL=\int_a^bF(\gamma (t)) \cdot \gamma'(t) \ dt$$

És a dir, la integral de $f$ al llarg de la corba $C$ és la integral entre $a$ i $b$ de la funció composta amb la parametrització, fent el producte escalar amb la derivada de la parametrització.

Procediment

  1. Prendre la parametrització de la superfície $C$ i calcular la derivada d'aquesta.
  2. Substituir $x$, $y$ i $z$ per $x (t)$, $y(t)$ i $z(t)$ en la funció $f$, d'acord amb la parametrització donada.
  3. Calcular el producte escalar dels resultats dels passos 1 i 2.
  4. Calculeu la integral resultant.

Calculeu la integral de $F(x,y,z)=(-x^2,-3 \cdot x \cdot y+z,y)$ al llarg de la corba parametritzada per $\gamma (t)=(\cos t, \sin t, 2)$, $t \in [0,2\pi]$

  1. $\gamma '(t)=(-\sin t, \cos t ,0)$

  2. $F(\gamma(t))=(-\cos^2t, -3\sin t \cdot \cos t+2, \sin t)$

  3. $F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)=(-\cos^2t, -3\cdot \sin t \cdot \cos t +2, \sin t)\cdot(-\sin t, \cos t, 0)=$

$$=\sin t \cdot cos^2t-3\cdot \sin t \cdot cos^2 t=2 \cdot cos t- 2 \cdot cos^2t \cdot \sin t$$

  1. $\displaystyle \int_0^{2\pi} 2\cdot \cos t -2 \cdot \cos^2 t \cdot \sin t \ dt=\Big[-\frac{2}{3}cos^3 t+2 \sin t\Big]_0^{2\pi}=\frac{2}{3}+0-\Big(-\frac{2}{3}\Big)-0=\frac{4}{3}$

Practicar exercicis