Integral a lo largo de una curva

Sea $C$ una curva, parametrizada por $\gamma (t)$ en el intervalo $[a, b]$, y una función $f$ definida en este interval, entonces:

Si $f$ es un campo escalar (es decir, si $f (x, y, z)$ pertenece a los números reales). Entonces: $$\displaystyle \int_C f \cdot dL= \int_a^b f(\gamma(t)) \ ||\gamma '(t)|| dt$$

Es decir, la integral de $f$ a lo largo de la curva $C$ es la integral entre $a$ y $b$ de la función compuesta con la parametrización, multiplicada por la norma de la derivada de la parametrización.

Procedimiento

1. Tomar la parametrización de la superficie $C$, calcular la derivada de ésta, y la norma de la derivada.
2. Sustituir $x$, $y$ y $z$ por $x (t)$, $y (t)$ y $z (t)$ en la función $f$, de acuerdo con la parametrización dada.
3. Calcular la integral resultante.

Calcular la integral de la función $f(x, y, z)=z$ a lo largo de la curva $\gamma (t) = (t\cos t, t \sin t , t)$ , que es una parametrización de una espiral con una forma parecida a un "tornado".

1. $\displaystyle \gamma '(t)=(\cos t-t \sin t, \sin t + \cos t, 1 )$, $\displaystyle ||\gamma '(t)||=\sqrt{(\cos t- t \sin t)^2+(\sin t +t \cos t)^2+1^2 }=\sqrt{2+t^2}$

2. $\displaystyle f(\gamma(t))=t$

3. $\displaystyle \int_0^{2\pi}f(\gamma(t)) ||\gamma '(t)|| \ dt=\int_0^{2\pi} t\cdot \sqrt{2+t^2} \ dt= \frac{1}{3}\Big[(2+t^2)^\frac{3}{2}\Big]_0^{2\pi}$

Si $F$ es un campo vectorial $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$. Entonces, $$\displaystyle \int_CF \cdot dL=\int_a^bF(\gamma (t)) \cdot \gamma'(t) \ dt$$

es decir, la integral de $f$ a lo largo de la curva $C$ es la integral entre $a$ y $b$ de la función compuesta con la parametrización, haciendo el producto escalar con la derivada de la parametrización.

Procedimiento

1. Tomar la parametrización de la superficie $C$ y calcular la derivada de ésta.
2. Sustituir $x$, $y$ y $z$ por $x (t)$, $y(t)$ y $z(t)$ en la función $f$, de acuerdo con la parametrización dada.
3. Calcular el producto escalar de los resultados de los pasos 1 y 2.
4. Calcular la integral resultante.

Calcular la integral de $F(x,y,z)=(-x^2,-3 \cdot x \cdot y+z,y)$ a lo largo de la curva parametrizada por $\gamma (t)=(\cos t, \sin t, 2)$, $t \in [0,2\pi]$

1. $\gamma '(t)=(-\sin t, \cos t ,0)$

2. $F(\gamma(t))=(-\cos^2t, -3\sin t \cdot \cos t+2, \sin t)$

3. $F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)=(-\cos^2t, -3\cdot \sin t \cdot \cos t +2, \sin t)\cdot(-\sin t, \cos t, 0)=$

$$=\sin t \cdot cos^2t-3\cdot \sin t \cdot cos^2 t=2 \cdot cos t- 2 \cdot cos^2t \cdot \sin t$$

4. $\displaystyle \int_0^{2\pi} 2\cdot \cos t -2 \cdot \cos^2 t \cdot \sin t \ dt=\Big[-\frac{2}{3}cos^3 t+2 \sin t\Big]_0^{2\pi}=\frac{2}{3}+0-\Big(-\frac{2}{3}\Big)-0=\frac{4}{3}$