Canvis de variables en integrals dobles

Hi ha molts casos en que amb les variables $x$ i $y$ no sabrem resoldre la integral, ja sigui per la seva funció a integrar, o per la complicació de l'expressió de l'interval d'integració.

En aquests casos, buscarem canvis de variables que ens facilitin la resolució del problema.

El canvi de variable amb $2$ variables es realitza de forma semblant al d'una variable, amb el següent procediment:

• Donades $x$ i $y$ les variables inicials, escollir les funcions $u(x, y)$ i $v(x, y)$, les noves variables del sistema, que preferiblement ens donin un recinte d'integració més fàcil.

• Calcular la matriu jacobiana de l'expressió de les coordenades antigues en funció de les noves:$\displaystyle \begin{bmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv} \\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv} \end{bmatrix}$, i calcular el valor absolut del seu determinant $\displaystyle |J|=ABS\left(\left|\begin{bmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv} \\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv}\end{bmatrix}\right|\right)$

• Calcular la regió d'integració en les noves variables $u$, $v$ (que anomenarem $\widehat {R}$ ), ja sigui a partir de l'expressió analítica o a partir del dibuix de la regió. Calculeu també la funció $f (x, y)$ en funció de $u$, $v$ que anomenarem $\widehat{f}(u,v)$.

• $\displaystyle \int_R f(x,y) \ dxdy=\int_{\widehat{R}} \widehat{f}(u,v)\cdot |J| \ dudv$