Cambios de variables en integrales dobles

Hay muchos casos en los que con las variables $x$ e $y$ no sabremos resolver la integral, ya sea por su función a integrar, o por la complicación de la expresión del intervalo de integración.

En esos casos, buscaremos cambios de variables que nos faciliten la resolución del problema.

El cambio de variable con $2$ variables se realiza de forma parecida al de una variable, con el siguiente procedimiento:

• Dadas $x$ e $y$ las variables iniciales, escoger las funciones $u(x, y)$ y $v(x, y)$, las nuevas variables del sistema, que preferiblemente nos den un recinto de integración más fácil.

• Calcular la Matriz Jacobiana de la expresión de las coordenadas antiguas en función de las nuevas:$\displaystyle \begin{bmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv} \\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv} \end{bmatrix}$, y calcular el valor absoluto de su determinante $\displaystyle |J|=ABS\left(\left|\begin{bmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv} \\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv}\end{bmatrix}\right|\right)$

• Calcular la región de integración en las nuevas variables $u$, $v$ (que llamaremos $\widehat {R}$ ), ya sea a partir de la expresión analítica o a partir del dibujo de la región. Calcular también la función $f (x, y)$ en función de $u$, $v$. La llamaremos $\widehat{f}(u,v)$.

• $\displaystyle \int_R f(x,y) \ dxdy=\int_{\widehat{R}} \widehat{f}(u,v)\cdot |J| \ dudv$