Càlcul d'àrees del pla a partir del teorema de Green

L'àrea que volem trobar és la dibuixada en el següent gràfic:

Aquest és un clar exemple de la utilitat del teorema de Green per a calcular àrees de regions limitades per corbes. A més, el problema ja ens dóna la parametrització de la corba. Com a camp vectorial agafarem $F(x,y)=(0,x)$.

D'aquesta manera: $$\text{Àrea}= \iint_D 1 \ dx \ dy=\iint_D \big( Q_x-P_y\big) \ dx \ dy= \int_C F \ dr = \int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) \ dt $$

Calculem, doncs,

$$\gamma'(t)=\big( -3a\cos^2(t)\sin(t),3a\sin^2(t)\cos(t) \big)$$

Així:

$$\begin{array}{rl} \int_C F \ dr =& \int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) \ dt\\ =& \int_0^{2\pi} \big(0,a\cos^3(t)\big)\cdot\big(-3a\cos^2(t)\sin(t),3a\sin^2(t)\cos(t)\big) \ dt \\ =& \int_0^{2\pi}3a^2\sin^2(t)\cos^4(t) \ dt= 3a^2\int_0^{2\pi}\Big(\dfrac{1-\cos(2t)}{2}\Big)\Big(\dfrac{1+\cos(2t)}{2}\Big)^2 \ dt \\ =& \dfrac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi}(1+\cos(2t))(1-\cos^2(2t)) \ dt \\ =& \dfrac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi} (1-\cos^2(2t)+\cos(2t)-\cos^3(2t)) \ dt \\ =& \dfrac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi} \Big( 1-\dfrac{1+\cos(4t)}{2}+\cos(2t)-\cos(2t)+\cos(2t)\sin^2(2t) \Big) \ dt \\ =& \dfrac{3a^2}{8}\int_0^{2\pi} \dfrac{1}{2} \ dt =\dfrac{3a^2\pi}{8} \end{array}$$