Càlcul d'àrees de superfícies a l'espai

Calcular una àrea no és més que integrar la funció $1$ al recinte o superfície determinada. Ara tindrem la superfície en l'espai i per tant haurem de restringir la integració de $\mathbb{R}^3$ a la nostra superfície. És l'anomenada integral de superfície, de la funció $1$, en el nostre cas.

Si $S$ és una superfície parametritzada, aleshores: $$\text{Àrea}(S)=\int_S dS=\iint |r_u \times r_v| \ du \ dv$$

on $r = r (u, v)$ és la parametrització de la superfície; $r_u$ i $r_v$ representen els vectors derivades parcials respecte de $u$ i $v$, respectivament, i $|r_u \times r_v|$ representa el mòdul del producte vectorial.

Per tant la dificultat del càlcul està bàsicament en parametritzar la superfície.

Anem a calcular, per veure un exemple, la superfície d'una esfera de radi $R$. Suposarem que està centrada a l'origen. D'aquesta manera l'esfera ve donada per l'equació: $x^2+y^2+z^2=R^2$.

Prenent coordenades esfèriques, tenim que la superfície es pot parametritzar per:

$$r(\varphi,\theta)=\big( R\sin\varphi\cos\theta,R\sin\varphi\sin\theta, R\cos\varphi\big) \quad \text{ amb } \quad \varphi\in[0,\pi] \quad \theta\in[0,2\pi]$$

Calculem ara les derivades de la parametrització i el mòdul del seu producte vectorial:

$$ \left. \begin{array}{l} r_\varphi=\big(R\cos\theta\cos\varphi, R\sin\theta\cos\varphi,-R\sin\varphi\big) \\ r_\theta=\big(-R\sin\theta\sin\varphi, R\sin\varphi\cos\theta,0\big) \end{array} \right\} $$

$$\begin{array}{lcl} \Rightarrow \ r_\varphi \times r_\theta &=& \begin{vmatrix} i & j & k \\ R\cos\theta\cos\varphi & R\sin\theta\cos\varphi & -R\sin\varphi \\ -R\sin\theta\sin\varphi & R\sin\varphi\cos\theta & 0 \end{vmatrix} \\ &=& \big( R^2\sin^2\varphi\cos\theta, R^2\sin^2\varphi\sin\theta, R^2\sin\varphi\cos\theta\big) \\ \Rightarrow \ |r_\varphi \times r_\theta| &=& \sqrt{R^4\sin^4\varphi\sin^2\theta + R^4\sin^4\varphi\cos^2\varphi + R^4\sin^2\varphi\cos^2\theta} \\ &=& \sqrt{R^4\sin^4\varphi + R^4\sin^2\varphi\cos^2\varphi} = R^2\sin\varphi \end{array}$$

Per tant, tenim: $$\begin{array}{rl} \text{Àrea}(S)=&\int_S dS=\iint |r_\varphi \times r_\theta| \ d\varphi \ d\theta= \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} R^2\sin\varphi \ d\varphi \ d\theta \\ =& R^2 \int_0^{2\pi}[-\cos\varphi]_0^\pi \ d\theta = 2 R^2 2\pi= 4\pi R^2 \end{array} $$