Cálculo de áreas de superficies en el espacio

Calcular un área no es más que integrar la función $1$ en el recinto o superficie determinada. Ahora tendremos la superficie en el espacio y por consiguiente tendremos que restringir la integración de $\mathbb{R}^3$ a nuestra superficie. Es la llamada integral de superficie, de la función $1$, en nuestro caso.

Si $S$ es una superficie parametrizada, entonces: $$\text{Área}(S)=\int_S dS=\iint |r_u \times r_v| \ du \ dv$$

donde $r = r (u, v)$ es la parametrización de la superficie; $r_u$ y $r_v$ representan los vectores derivadas parciales respecto de $u$ y $v$, respectivamente, y $|r_u \times r_v|$ representa el módulo del producto vectrial.

Por lo tanto la dificultad del cálculo está básicamente en paramtetrizar la superficie.

Vamos a calcular, para ver un ejemplo, la superficie de una esfera de radio $R$. Supondremos que está centrada en el origen. De este modo la esfera viene dada por la ecuación: $x^2+y^2+z^2=R^2$.

Tomando coordenadas esféricas, tenemos que la superficie se puede parametrizar por:

$$r(\varphi,\theta)=\big( R\sin\varphi\cos\theta,R\sin\varphi\sin\theta, R\cos\varphi\big) \quad \text{ con } \quad \varphi\in[0,\pi] \quad \theta\in[0,2\pi]$$

Calculemos ahora las derivadas de la parametrización y el módulo de su producto vectorial:

$$ \left. \begin{array}{l} r_\varphi=\big(R\cos\theta\cos\varphi, R\sin\theta\cos\varphi,-R\sin\varphi\big) \\ r_\theta=\big(-R\sin\theta\sin\varphi, R\sin\varphi\cos\theta,0\big) \end{array} \right\} $$

$$\begin{array}{lcl} \Rightarrow \ r_\varphi \times r_\theta &=& \begin{vmatrix} i & j & k \\ R\cos\theta\cos\varphi & R\sin\theta\cos\varphi & -R\sin\varphi \\ -R\sin\theta\sin\varphi & R\sin\varphi\cos\theta & 0 \end{vmatrix} \\ &=& \big( R^2\sin^2\varphi\cos\theta, R^2\sin^2\varphi\sin\theta, R^2\sin\varphi\cos\theta\big) \\ \Rightarrow \ |r_\varphi \times r_\theta| &=& \sqrt{R^4\sin^4\varphi\sin^2\theta + R^4\sin^4\varphi\cos^2\varphi + R^4\sin^2\varphi\cos^2\theta} \\ &=& \sqrt{R^4\sin^4\varphi + R^4\sin^2\varphi\cos^2\varphi} = R^2\sin\varphi \end{array}$$

Por lo tanto, tenemos: $$\begin{array}{rl} \text{Área}(S)=&\int_S dS=\iint |r_\varphi \times r_\theta| \ d\varphi \ d\theta= \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} R^2\sin\varphi \ d\varphi \ d\theta \\ =& R^2 \int_0^{2\pi}[-\cos\varphi]_0^\pi \ d\theta = 2 R^2 2\pi= 4\pi R^2 \end{array} $$