Àrees delimitades per dues funcions

Si ara volem determinar l'àrea que delimiten dues funcions:

descompondrem el problema en dues parts: primer calcularem l'àrea delimitada per la gràfica superior amb l'eix i llavors li restarem l'àrea delimitada per la gràfica inferior.

És a dir, si la gràfica superior és $(x,f(x))$ i la inferior és $(x,g(x))$: $$ A=\int_a^b f(x) \ dx - \int_a^b g(x) \ dx$$

Calculem l'àrea delimitada per les funcions $f(x)=\sin\Big( \dfrac{\pi}{2} \Big)$ i $g(x)=x$ en l'interval $[0,1]$. Dibuixem les funcions per saber quina és la gràfica superior i quina la inferior:

Així, veiem que la gràfica superior és $f(x)$ i la inferior és $g(x)$. Per tant l'àrea entre les dues funcions entre $[-1,1]$ és:

$$\begin{array}{rl} A =&\int_0^1 f(x)\ dx-\int_0^1 g(x) \ dx = \int_0^1 \sin\Big(\dfrac{\pi}{2}x\Big) \ dx- \int_0^1 x \ dx \\ =& \dfrac{2}{\pi}\Big[-\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}x \Big)\Big]_0^1-\Big[\dfrac{x^2}{2}\Big]_0^1= \dfrac{2}{\pi}(0+1)-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4-\pi}{2\pi}u^2 \end{array}$$