Áreas delimitadas por dos funciones

Si ahora queremos determinar el área que delimitan dos funciones:

descompondremos el problema en dos partes: primero calcularemos el área delimitada por la gráfica superior con el eje y le restaremos el área delimitada por la gráfica inferior.

O sea, si la gráfica superior es $(x,f(x))$ y la inferior es $(x,g(x))$: $$ A=\int_a^b f(x) \ dx - \int_a^b g(x) \ dx$$

Vamos a calcular el área delimitada por las funciones $f(x)=\sin\Big( \dfrac{\pi}{2} \Big)$ y $g(x)=x$ en el intervalo $[0,1]$. Dibujemos la funciones para saber cual es la gráfica superior y cual la inferior:

Así, vemos que la gráfica superior es $f(x)$ y la inferior es $g(x)$. Por lo tanto el área entre las dos funciones entre $[-1,1]$ es:

$$\begin{array}{rl} A =&\int_0^1 f(x)\ dx-\int_0^1 g(x) \ dx = \int_0^1 \sin\Big(\dfrac{\pi}{2}x\Big) \ dx- \int_0^1 x \ dx \\ =& \dfrac{2}{\pi}\Big[-\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}x \Big)\Big]_0^1-\Big[\dfrac{x^2}{2}\Big]_0^1= \dfrac{2}{\pi}(0+1)-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4-\pi}{2\pi}u^2 \end{array}$$