Introducció i propietats de les inequacions

Una inequació és una expressió del tipus: $$ 2x+3 > 4 $$

on la lletra $x$ simbolitza una quantitat a determinar i tota l'expressió es podria llegir com: "Busquem una quantitat tal que si la multipliquem per dos i li sumem tres, el resultat és més gran que quatre".

En les inequacions, a part dels números i les incògnites (les $x$), podem trobar els següents símbols:

• $= \; \rightarrow$ Igual.
• $> \; \rightarrow$ Més gran que.
• $< \; \rightarrow$ Menor que.
• $\geqslant \; \rightarrow$ Més gran o igual que.
• $\leqslant \; \rightarrow$ Menor o igual que.

Amb aquests símbols podem denotar les inequacions i també les desigualtats.

Per tant:

• Una desigualtat és una expressió algebraica en què es fa la comparació de dos o més valors numèrics.

• Una inequació és una expressió algebraica en què es fa la comparació de dos valors, on podem trobar una variable (la anomenarem $x$) i es pretén que aquesta sigui resolta i així poder trobar els valors possibles de $x$ tal que compleixi la inequació.

En conseqüència, podem elaborar expressions del tipus:

(1) $2=2$

(2) $3>0>-1$

(3) $-2< 5$

(4) $4\geqslant 4$

(5) $x-1\leqslant 1 $

on les podem transcriure com:

(1) dos és igual a dos.

(2) tres és més gran que zero que al seu torn és més gran que menys u.

(3) menys dos és menor que cinc.

(4) quatre és major o igual que quatre.

(5) $x$ menys u és menor o igual que u.

En aquest cas (1), (2), (3) i (4) són desigualtats i (5) és una inequació.

Fixem-nos que les expressions (1), (2), (3) i (4) són certes (l'expressió (5) no és certa ni falsa, s'ha de determinar per quins valors de $x$ l'expressió és certa).

Un exemple d'expressió falsa seria: $$ -3> 2 $$ ja que menys tres no és més gran que dos, sinó que menys tres és menor que dos.

Propietats bàsiques

Observem algunes de les propietats de les desigualtats (i de les inequacions). Anem a veure dues propietats bàsiques que compleixen les desigualtats i per tant les inequacions.

Per a aquest propòsit denotarem les lletres $A$, $B$ i $C$ com tres números qualssevol.

• Propietat 1: Els números $A$ i $B$ sempre compleixen una de les següents afirmacions:
• $ A < B $
• $A=B$
• $A > B$

Els números $A = 4$ i $B = 8$ compleixen la primera afirmació.

Els números $A = 1$ i $B = 1$ compleixen la segona afirmació.

Els números $A = 24$ i $B =- 13$ compleixen la tercera afirmació.

• Propietat 2: Aquesta propietat es refereix a la simetria de les inequacions o desigualtats:
• Si $ A < B \Rightarrow B > A $
• Si $ A > B \Rightarrow B < A$

(Nota: el símbol $\Rightarrow$ simbolitza "llavors". Per exemple, $A < B \Rightarrow B > A$, direm que si $A$ és menor que $B$ llavors $B$ és més gran que $A$).

Prenent $A = 3$ i $B = 4$ està clar que $ A < B $ i alhora $B>A$.

Prenent $A = 7$ i $B = 6$ està clar que $ A > B$ i alhora $B < A $.