Introducción y propiedades de las inecuaciones

Una inecuación es una expresión del tipo: $$ 2x+3 > 4 $$

donde la letra $x$ simboliza una cantidad a determinar y toda la expresión se podría leer como: "Buscamos una cantidad tal que si la multiplicamos por dos y le sumamos tres, el resultado es mayor que cuatro".

En las inecuaciones, aparte de los números y las incógnitas (las $x$), podemos encontrar los siguientes símbolos:

• $= \; \rightarrow$ Igual.
• $> \; \rightarrow$ Mayor que.
• $< \; \rightarrow$ Menor que.
• $\geqslant \; \rightarrow$ Mayor o igual que.
• $\leqslant \; \rightarrow$ Menor o igual que.

Con estos símbolos podemos denotar las inecuaciones y también las desigualdades.

Por consiguiente:

• Una desigualdad es una expresión algebraica en la que se hace la comparación de dos o más valores numéricos.

• Una inecuación es una expresión algebraica en la que se hace la comparación de dos valores, donde podemos encontrar una variable (la llamaremos $x$) y se pretende que ésta sea resuelta y así poder encontrar los valores posibles de $x$ tal que cumpla la inecuación.

En consecuencia, podemos elaborar expresiones del tipo:

(1) $2=2$

(2) $3>0>-1$

(3) $-2< 5$

(4) $4\geqslant 4$

(5) $x-1\leqslant 1 $

donde las podemos transcribir como:

(1) dos es igual a dos.

(2) tres es mayor que cero que a su vez es mayor que menos uno.

(3) menos 2 es menor que cinco.

(4) cuatro es mayor o igual que cuatro.

(5) $x$ menos uno es menor o igual que uno.

En este caso (1), (2), (3) y (4) son desigualdades y (5) es una inecuación.

Fijémonos en que las expresiones (1), (2), (3) y (4) son ciertas (la expresión (5) no es cierta ni falsa, se tiene que determinar para qué valores de $x$ la expresión és cierta).

Un ejemplo de expresión falsa sería: $$ -3> 2 $$ puesto que menos tres no es mayor que dos, sino que menos tres es menor que dos.

Propiedades básicas

A continuación vamos a observar algunas de las propiedades de las desigualdades (y de las inecuaciones). Vamos a ver dos propiedades básicas que cumplen las desigualdades y por consiguiente las inecuaciones.

Para este propósito denotaremos las letras $A$, $B$ y $C$ como tres números cualesquiera.

• Propiedad 1: Los números $A$ y $B$ siempre cumplen una de las siguientes afirmaciones:
• $ A < B $
• $A=B$
• $A > B$

Los números $A = 4$ y $B = 8$ cumplen la primera afirmación.

Los números $A = 1$ y $B = 1$ cumplen la segunda afirmación.

Los números $A = 24$ y $B =- 13$ cumplen la tercera afirmación.

• Propiedad 2: Esta propiedad se refiere a la simetría de las inecuaciones o desigualdades:
• Si $ A < B \Rightarrow B > A$
• Si $ A > B \Rightarrow B < A$

(Nota: el símbolo $\Rightarrow$ simboliza "entonces". Por ejemplo, $A < B \Rightarrow B > A$, diremos que si $A$ es menor que $B$ entonces $B$ es mayor que $A$).

Tomando $A = 3$ y $B = 4$ está claro que $ A < B $ y que a su vez $B>A$.

Tomando $A = 7$ y $B = 6$ está claro que $ A > B$ y que a su vez $B < A $.