Posicions relatives entre rectes

D'entrada recordar que dues rectes són paral·leles si i només si ho són els seus vectors directors.

Un vector director de la recta $r$ és $\overrightarrow{v}=(1, 3)$. Per tant si utilitzem l'equació vectorial la recta que passa per $P=(1,1)$ i és paral·lela a $r$ és: $$(x, y) = (1, 1) + k \cdot (1, 3)$$ Si busquem ara la posició relativa entre $r$ i $s$:

$r: 3x-y+2=0 \rightarrow r: y = 3x + 2$ (equació explícita)

$$s: y = -x + 4$$

Per tant tenim els pendents de $r$ i $s$, $$m_r=3, \ m_s=-1$$ Observem que són diferents i per tant les rectes no són paral·leles ni coincidents, i evidentment han de ser secants.

Finalment, el punt d'intersecció el podem calcular fàcilment resolent el sistema:

$$\left\{\begin{array}{c} y=-x+4 \\ x=1+k \\ y=1+3k \end{array}\right.$$

equivalent a:

$$\left\{\begin{array}{c} y=-x+4 \\ x-1=\dfrac{y-1}{3} \end{array}\right.$$

i la solució és:

$$3x - 3 =-x + 4 - 1 \rightarrow 4x = 6 \rightarrow x = 3/2$$

$$y = 5/2$$