Posiciones relativas entre rectas
Dadas la rectas $r: 3x - y + 2 = 0$ y $s: y=-x+4$, encontrad una recta paralela a $r$ que pase por el punto $P = (1, 1)$.
Determinad la posición relativa entre $r$ y $s$, y buscar el punto de corte entre $s$ y la paralela a $r$.
De entrada recordamos que dos rectas son paralelas si y solo si lo son sus vectores directores.
Un vector director de la recta $r$ es $\overrightarrow{v}=(1, 3)$. Por tanto si utilizamos la ecuación vectorial la recta que pasa por $P=(1,1)$ y es paralela a $r$ es: $$(x, y) = (1, 1) + k \cdot (1, 3)$$ Si buscamos ahora la posición relativa entre $r$ y $s$:
$r: 3x-y+2=0 \rightarrow r: y = 3x + 2$ (ecuación explícita)
$$s: y = -x + 4$$
Por tanto tenemos los pendientes de $r$ y $s$, $$m_r=3, \ m_s=-1$$ Observamos que son distintos y por lo tanto las rectas no son paralelas ni coincidentes, y evidentemente han de ser secantes.
Por último, el punto de intersección lo podemos calcular fácilmente resolviendo el sistema:
$$\left\{\begin{array}{c} y=-x+4 \\ x=1+k \\ y=1+3k \end{array}\right.$$
equivalente a:
$$\left\{\begin{array}{c} y=-x+4 \\ x-1=\dfrac{y-1}{3} \end{array}\right.$$
y cuya solución es:
$$3x - 3 =-x + 4 - 1 \rightarrow 4x = 6 \rightarrow x = 3/2$$
$$y = 5/2$$
La ecuación de la recta paralela es: $$(x, y) = (1, 1) + k \cdot (1, 3)$$
Las rectas $r$ y $s$ son secantes.
La recta $s$ y la paralela a $r$ se cortan en el punto $P = (3/2, 5/2)$.