Coordenades d'un punt, components d'un vector i punt mitjà d'un segment

Coordenades d'un punt al pla

Vegem com s'utilitzen els vectors per assignar coordenades als punts del pla.

Considerem un punt fix del pla $O$ (conegut com a origen), i una base $B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$ de $V_2$ (Espai vectorial de dimensió 2).

Recordem que una base de $V_2$ són dos vectors linealment independents. El conjunt format per $O$ i $B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$ constitueix un sistema de referència al pla, ja que permet determinar la posició de qualsevol altre punt del pla.

Això és degut a que qualsevol altre punt $P$ del pla determina amb el punt $O$ un vector $\overrightarrow{OP}$. Siguin $(p_1,p_2)$ les components del vector en la base $B$. Llavors $(p_1,p_2)$ són les coordenades del punt $P$ en el sistema de referència $R=\{O;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$ i escrivim $P =(p_1,p_2)$.

El procediment per trobar les coordenades d'un punt $P$ en un sistema de referència donat és el següent:

  1. A partir dels punts $O$ i $P$ determinem el vector $\overrightarrow{OP}$

  2. Expressem el vector $\overrightarrow{OP}$ com a combinació lineal dels vectors de la base $B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$, és a dir, $\overrightarrow{OP}=p_1 \cdot \overrightarrow{u}+p_2 \cdot \overrightarrow{v}$

  3. $P=(p_1,p_2)$

Expressar el punt $P$ del dibuix en el sistema de referència $R =\{O;\overrightarrow {u}, \overrightarrow{v}\}$.

D'ara endavant considerarem com a sistema de referència $R$, el format per l'origen de coordenades $O = (0, 0)$ i la base canònica de $V_2$ $B =\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\}$.

Components d'un vector determinat per dos punts

Vegem ara la forma de determinar les components d'un vector si sabem les coordenades dels seus extrems.

Siguin $P =(p_1,p_2)$ i $Q = (q_1,q_2)$ dos punts del pla, i sigui $\overrightarrow{PQ}$ el vector que va de $P$ a $Q$. Llavors les components del vector $\overrightarrow{PQ}$ són $\overrightarrow{PQ}=(q_1-p_1,q_2-p_2)$.

Siguin $P = (2, 6)$ i $Q = (-3, 9)$. Les components del vector $\overrightarrow{PQ}$ són:$\overrightarrow{PQ}= (-3 - 2, 9 - 6) = (-5, 3)$

Aplicar un vector a un punt

Donats un punt $P$ i un vector $\overrightarrow{v}$, el resultat d'aplicar el vector al punt és un nou punt $Q$ situat en la direcció de $\overrightarrow{v}$ i a una distància $|\overrightarrow{v}|$. (Mòdul del vector $\overrightarrow{v}$)

Les coordenades d'aquest nou punt $Q$ es calculen a partir de les de $P =(p_1,p_2)$ i $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ com $$Q = P +\overrightarrow{v}=(p_1+v_1,p_2+v_2)$$

NOTA: És molt important tenir present que aquesta operació de "suma" només té sentit entre un punt i un vector. MAI hem de sumar dos punts, i el resultat de sumar dos vectors és un altre vector i no un punt!

Donada la següent figura, determinar les coordenades del punt $P$ de la figura resultat d'aplicar el vector $\overrightarrow{v}$ al punt $A$.

A = ( 0, 4) • (-1, 2) (2, 4) P = ¿? •

Comencem calculant les components del vector $\overrightarrow{v}$:$$\overrightarrow{v} = (2 - (-1), 4-2) = (3, 2)$$ Com $P$ és el resultat d'aplicar el vector $\overrightarrow{v}$ al punt $A$ es té,$$P=A+\overrightarrow{v}=(0,4)+(3,2)=(3,6)$$

Punt mitjà d'un segment

Considerem ara el segment d'extrems $A = (a_1,a_2)$ i $B = (b_1,b_2)$. Sigui $M =(m_1,m_2)$ el punt mitjà d'aquest segment. Evidentment aquest punt compleix que $\overrightarrow{AB}=2\cdot \overrightarrow{AM}$, és a dir que $(b_1-a_1,b_2-a_2)=2\cdot (m_1-a_1,m_2-a_2)$

Separant component a component obtenim: $$\begin{array}{rcl} b_1-a_1 & = & 2 \cdot (m_1-a_1) \\ b_2-a_2 &=& 2\cdot (m_2-a_2) \end{array}$$ i aïllant tenim: $$\begin{array}{rcl} m_1 & = & \displaystyle \frac{a_1+b_1}{2}\\ m_2 &=& \displaystyle \frac{a_2+b_2}{2} \end{array}$$ De manera que podem calcular les coordenades del punt mitjà d'un segment a partir de les coordenades dels seus extrems.

Donats els punts $A = (-3, 7)$ i $B = (1, 2)$ trobeu el punt mitjà del segment que determinen.

Aplicant les fórmules anteriors tenim: $$\begin{array}{rcl} m_1 & = & \displaystyle \frac{a_1+b_1}{2}= \frac{-3+2}{2}=-1\\ m_2 &=& \displaystyle \frac{a_2+b_2}{2}=\frac{7+2}{2}=\frac{9}{2} \end{array}$$ Per tant el punt mitjà del segment $AB$ és $M = (-1, \displaystyle \frac{9}{2})$

Practicar exercicis