Coordenadas de un punto, componentes de un vector y punto medio de un segmento

Coordenadas de un punto en el plano

Veamos como se utilizan los vectores para asignar coordenadas a los puntos del plano.

Consideramos un punto fijo del plano $O$ (conocido como origen), y una base $B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$ de $V_2$ (Espacio vectorial de dimensión 2).

Recordemos que una base de $V_2$ son dos vectores linealmente independientes. El conjunto formado por $O$ y $B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$ constituye un sistema de referencia en el plano, ya que permite determinar la posición de cualquier otro punto del plano.

Esto se debe al hecho que cualquier otro punto $P$ del plano determina con el punto $O$ un vector $\overrightarrow{OP}$. Sean $(p_1,p_2)$ las componentes del vector en la base $B$. Entonces $(p_1,p_2)$ son las coordenadas del punto $P$ en el sistema de referencia $R=\{O;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$ y escribimos $P =(p_1,p_2)$.

El procedimiento para encontrar las coordenadas de un punto $P$ en un sistema de referencia dado es el siguiente:

1. A partir de los puntos $O$ i $P$ determinamos el vector $\overrightarrow{OP}$

2. Expresamos el vector $\overrightarrow{OP}$ como combinación lineal de los vectores de la base $B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$, es decir, $\overrightarrow{OP}=p_1 \cdot \overrightarrow{u}+p_2 \cdot \overrightarrow{v}$

3. $P=(p_1,p_2)$

Expresar el punto $P$ del dibujo en el sistema de referencia $R =\{O;\overrightarrow {u}, \overrightarrow{v}\}$.

• Dibujamos el vector $\overrightarrow{OP}$:

• Expresamos el vector $\overrightarrow{OP}$ como combinación lineal de los vectores de la base $B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$:

• Obtenemos $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$ y por tanto las coordenadas del punto $P$ son $P = (1 , 2)$

De ahora en adelante consideraremos como sistema de referencia $R$ el formado por el origen de coordenadas $O = (0, 0)$ y la base canónica de $V_2$ $B =\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\}$.

Componentes de un vector determinado por dos puntos

Veamos ahora la forma de determinar las componentes de un vector si sabemos las coordenadas de sus extremos:

Sean $P =(p_1,p_2)$ y $Q = (q_1,q_2)$ dos puntos del plano, y sea $\overrightarrow{PQ}$ el vector que va de $P$ a $Q$. Entonces las componentes del vector $\overrightarrow{PQ}$ son $\overrightarrow{PQ}=(q_1-p_1,q_2-p_2)$.

Sean $P = (2, 6)$ y $Q = (-3, 9)$. Las componentes del vector $\overrightarrow{PQ}$ son:$\overrightarrow{PQ}= (-3 - 2, 9 - 6) = (-5, 3)$

Aplicar un vector a un punto

Dados un punto $P$ y un vector $\overrightarrow{v}$, el resultado de aplicar el vector al punto es un nuevo punto $Q$ situado en la dirección de $\overrightarrow{v}$ y a una distancia $|\overrightarrow{v}|$. (módulo del vector $\overrightarrow{v}$)

Las coordenadas de este nuevo punto $Q$ se calculan a partir de las de $P =(p_1,p_2)$ y $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ cómo: $$Q = P +\overrightarrow{v}=(p_1+v_1,p_2+v_2)$$

NOTA: Es muy importante tener presente que esta operación de "suma" sólo tiene sentido entre un punto y un vector. NUNCA debemos sumar dos puntos, y el resultado de sumar dos vectores es otro vector y no un punto!

Dada la siguiente figura, determinar las coordenadas del punto $P$ de la figura resultado de aplicar el vector $\overrightarrow{v}$ al punto $A$.

Empezamos calculando las componentes del vector $\overrightarrow{v}$:$$\overrightarrow{v} = (2 - (-1), 4-2) = (3, 2)$$ Como $P$ es el resultado de aplicar el vector $\overrightarrow{v}$ al punto $A$ se tiene, $$P=A+\overrightarrow{v}=(0,4)+(3,2)=(3,6)$$

Punto medio de un segmento

Consideremos ahora el segmento de extremos $A = (a_1,a_2)$ y $B = (b_1,b_2)$. Sea $M =(m_1,m_2)$ el punto medio de dicho segmento. Evidentemente dicho punto cumple que $\overrightarrow{AB}=2\cdot \overrightarrow{AM}$, o sea que $(b_1-a_1,b_2-a_2)=2\cdot (m_1-a_1,m_2-a_2)$

Separando componente a componente obtenemos: $$\begin{array}{rcl} b_1-a_1 & = & 2 \cdot (m_1-a_1) \\ b_2-a_2 &=& 2\cdot (m_2-a_2) \end{array}$$ y aislando tenemos: $$\begin{array}{rcl} m_1 & = & \displaystyle \frac{a_1+b_1}{2}\\ m_2 &=& \displaystyle \frac{a_2+b_2}{2} \end{array}$$ De forma que podemos calcular las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las coordenadas de sus extremos.

Dados los puntos $A = (-3, 7)$ y $B = (1, 2)$ encontrad el punto medio del segmento que determinan.

Aplicando las fórmulas anteriores tenemos: $$\begin{array}{rcl} m_1 & = & \displaystyle \frac{a_1+b_1}{2}= \frac{-3+2}{2}=-1\\ m_2 &=& \displaystyle \frac{a_2+b_2}{2}=\frac{7+2}{2}=\frac{9}{2} \end{array}$$ Por tanto el punto medio del segmento $AB$ es $M = (-1, \displaystyle \frac{9}{2})$