Angles entre rectes

Per trobar aquesta recta bisectriu, que anomenarem $b$, cal tenir en compte 2 coses:

• Sabem que passa pel punt intersecció de les rectes $r$ i $s$ (per ser la bisectriu).
• La recta formarà el mateix angle amb $r$ que amb $s$.

Busquem primer la intersecció de $r$ i $s$: $$\left\{\begin{array}{c} x + y - 1 = 0 \\ y = 2x + 3 \end{array}\right.$$ $$x+(2x+3)-1=0 \rightarrow 3x+2=0 \rightarrow x=-\dfrac{2}{3}$$ $$y=2\cdot\Big(-\dfrac{2}{3}\Big)+3=-\dfrac{4}{3}+3=\dfrac{5}{3}$$ Per tant la recta $b$ buscada passarà pel punt $P=(-2/3, 5/3)$.

Busquem ara els vectors directors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ de les rectes $r$ i $s$ respectivament.

$$\overrightarrow{u}=(1,-1), \ \ \ \overrightarrow{v}=(1, 2)$$

Vegem quin és l'angle que formen aquests vectors amb l'eix horitzontal $OX$:

$$tg(\alpha_1)=\dfrac{-1}{1}=-1 \Rightarrow \alpha_1=-45^\circ$$

$$tg(\alpha_2)=\dfrac{2}{1}=2 \Rightarrow \alpha_2=63,435^\circ$$

Per tant ens trobem davant d'una situació del tipus:

a la figura considerem $\alpha_1$ i $\alpha_2$ en valor absolut.

Vegem 4 maneres de resoldre el problema. Començarem per un mètode poc rigorós.

Ara podríem agafar els angles, sumar-los, dividir el resultat entre dos i sumar-ho a $-45^\circ$ per saber que angle té la recta $b$ respecte l'eix horitzontal $OX$.

No obstant això, aquesta solució seria poc elegant i imprecisa ja que perdríem decimals pel camí.

Fem-ho tot i així:

$$\alpha_1=-45^\circ$$

$$\alpha_2=63,435^\circ$$

$$\dfrac{|\alpha_1-\alpha_2|}{2}=\dfrac{|-45-63,435|}{2}=\dfrac{|-108,435|}{2}=54,2175^\circ=a$$ (que és l'angle entre $b$ i $r$ o $b$ i $s$).

Ara fem $\alpha_1+a= 9, 2175... ^\circ$ que serà l'angle que forma la recta buscada $b$ amb la horitzontal.

Per tant tenim que el pendent de la recta $b$ és: $$m = tg (9,2175^\circ) = 0,16227812...$$ I així tenim un vector director de la recta $b$, que serà $\overrightarrow{w}=(1,m)=(1,0.16228)$

I utilitzant l'equació vectorial tenim,

$$b: (x, y) = (-2/3, 5/3) + k \cdot (1, 0.16228)$$

El procediment anterior pot ser aplicat de manera semblant però amb resultats exactes usant les següents fórmules trigonomètriques:

$$tg(A)=-tg(-A) \Rightarrow tg(-\alpha_1)=-tg(\alpha_1)=-(-1)=1$$

$$tg(A+B)=\dfrac{tg(A)+tg(B)}{1-tg(A)tg(B)} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow tg(|\alpha_1-\alpha_2|)=tg(\alpha_2+(-\alpha_1))=\dfrac{1+2}{1-2}=-3$$

$$tg(A)=u \Rightarrow \cos(A)=\dfrac{1}{\sqrt{1+u^2}} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \cos(|\alpha_1-\alpha_2|)=\dfrac{1}{\sqrt{1+tg^2(|\alpha_1-\alpha_2|)}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+(-3)^2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{10}}$$

$$tg(\dfrac{A}{2})=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(A)}{1+\cos(A)}}$$ amb el signe $\pm$ corresponent segons el quadrant en què es trobi l'angle $\dfrac{A}{2}$) $$\Rightarrow tg(\dfrac{|\alpha_1-\alpha_2|}{2})=\sqrt{\dfrac{1-\cos(|\alpha_1-\alpha_2|)}{1+\cos(|\alpha_1-\alpha_2|)}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{10}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{10}}}}=$$ $$=\sqrt{\dfrac{\dfrac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{10}}}{\dfrac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}}}}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{10}-1}}=\sqrt{\dfrac{10+2\sqrt{10}+1}{9}}=\dfrac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}{3}$$

En realitat aquí tenim el pendent d'una recta d'uns $54^\circ$. Nosaltres en realitat volem el pendent de la de $(54-45)^\circ$.

$$tg(A-B)=\dfrac{tg(A)-tg(B)}{1+tg(A)tg(B)} \Rightarrow tg\Big(\dfrac{|\alpha_1-\alpha_2|}{2}-45 \Big)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}{3}-1}{1+\dfrac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}{3}}=$$ $$=\dfrac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}-3}{\sqrt{11+2\sqrt{10}}+3}\simeq0,16227766$$

Per tant podem escriure l'equació de la recta $b$ de manera exacta com: $$(x,y)=\Big(\dfrac{-2}{3},\dfrac{5}{3}\Big)+k\cdot\Big(\dfrac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}-3}{\sqrt{11+2\sqrt{10}}+3} \Big)$$

Un altre mètode també rigorós per a l'obtenció de solucions seria el següent:

Suposem que la recta buscada té equació $Ax + By + C = 0$.

Per passar pel punt $(-2/3, 5/3)$ tenim:

$$-\dfrac{2}{3}A+\dfrac{5}{3}B+C=0$$

Ara sabem que

$$\cos(\widehat{r,s})=|\cos\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\dfrac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}= \dfrac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}=$$ $$=\dfrac{|1\cdot1+2\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|-1|}{\sqrt{5}\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$$ o si ho preferim $=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$.

i que, per trigonometria,

$$\cos\Big(\dfrac{\widehat{r,s}}{2} \Big)=\sqrt{\dfrac{1+\cos(\widehat{r,s})}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{10}}}{2}} \sqrt{\dfrac{\dfrac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{10}}}{2}}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}$$

Podem imposar la condició de que els angles siguin iguals de la bisectriu, sabent que el vector director de $b$ és $\widehat{w}=(-B, A)$, (Nota: $|x|=\sqrt{x^2}$).

$$\cos(\widehat{r,s})= \dfrac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$ $$\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}=\dfrac{\sqrt{(-B+2A)^2}}{\sqrt{5}\sqrt{A^2+B^2}}$$ $$\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}=\dfrac{\sqrt{(-B-A)^2}}{\sqrt{2}\sqrt{A^2+B^2}}$$

I si ajuntem les 3 equacions i resolem:

$$-\dfrac{2}{3}A+\dfrac{5}{3}B+C=0$$ $$\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}=\dfrac{\sqrt{(-B+2A)^2}}{\sqrt{5}\sqrt{A^2+B^2}}$$ $$\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}}=\dfrac{\sqrt{(-B-A)^2}}{\sqrt{2}\sqrt{A^2+B^2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$C=\dfrac{2}{3}A-\dfrac{5}{3}B$$ $$\dfrac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}=\dfrac{(-B+2A)^2}{5(A^2+B^2)}$$ $$\dfrac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}=\dfrac{(-B-A)^2}{2(A^2+B^2)}$$

Imposem $B=-1$ (Per a comprovar que obtenim el mateix resultat ja que el vector director serà del tipus $(1,m)$) i busquem una solució que compleix les tres equacions: $$C=\dfrac{2}{3}A-\dfrac{5}{3}(-1)$$ $$\dfrac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}=\dfrac{(1+2A)^2}{5(A^2+1)}$$ $$\dfrac{\sqrt{10}+1}{2\sqrt{10}}=\dfrac{(1-A)^2}{2(A^2+1)}$$ Dividim: $$1=\dfrac{2(1+2A)^2}{5(1-A)^2}$$ $$5-10A+5A^2=2+8A+8A^2$$ $$3A^2+18A-3=0$$ $$A=\dfrac{-18\pm\sqrt{18^2+4\cdot3\cdot3}}{6}=-3\pm\dfrac{\sqrt{360}}{6}$$

Si evaluem les solucions tenim: $$A_1=-3+\dfrac{\sqrt{360}}{6}\simeq0,16227766$$ $$A_2=-3-\dfrac{\sqrt{360}}{6}\simeq-6,16227766$$

Òbviament ens quedem amb la solució positiva ja que al ser $-B=1$, tenim $A=m=tg(\widehat{b,OX})$ que pertany al primer quadrant. Així, $C=\dfrac{2}{3}(-3+\dfrac{\sqrt{360}}{6})+\dfrac{5}{3}$ i sense arreglar, l'equació de la recta queda: $$(-3+\dfrac{\sqrt{360}}{6})x-y+(\dfrac{2}{3}(-3+\dfrac{\sqrt{360}}{6})+\dfrac{5}{3})=0$$

Finalment, un altre procediment geomètric, molt elegant i que no necessita de l'ús de trigonometria, seria el emular la construcció geomètrica de la bisectriu:

Agafem vectors directors de les rectes $r$ i $s$: $$\overrightarrow{u}=(1,-1), \ \ \ \overrightarrow{v}=(1, 2)$$ Els fem unitaris, és a dir, de mòdul 1: $$\overrightarrow{u}=(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}), \ \ \ \overrightarrow{v}=(\dfrac{1}{\sqrt{5}}, \dfrac{2}{\sqrt{5}})$$ Els apliquem al punt de tall $P$ de les rectes $r$ i $s$, obtenint així punts equidistants al vèrtex de l'angle a bisectar sobre les rectes anteriors:

$$a=P+\overrightarrow{u}=(-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3})+(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}})=(\dfrac{-2\sqrt{2}+3}{3\sqrt{2}},\dfrac{5\sqrt{2}-3}{3\sqrt{2}})$$ $$b=P+\overrightarrow{v}=(-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3})+(\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}})=(\dfrac{-2\sqrt{5}+3}{3\sqrt{5}},\dfrac{5\sqrt{5}+6}{3\sqrt{5}})$$

Si ara trobem el punt mitjà $M$ del segment $AB$, tindrem un altre punt de la bisectriu $b$ (juntament amb $P$) i per tant ja la podrem construir: $$M=\Big(\dfrac{a_1+b_1}{2},\dfrac{a_2+b_2}{2}\Big)$$ $$M=\Big(\dfrac{-2\sqrt{2}+3}{6\sqrt{2}}+\dfrac{-2\sqrt{5}+3}{6\sqrt{2}}, \dfrac{5\sqrt{2}-3}{6\sqrt{2}}+\dfrac{5\sqrt{2}+6}{6\sqrt{5}}\Big)=$$ $$=\Big(\dfrac{3\sqrt{2}+3\sqrt{5}-4\sqrt{10}}{6\sqrt{10}},\dfrac{6\sqrt{2}-3\sqrt{5}+10\sqrt{10} }{6\sqrt{10}}\Big)$$ I per tant ja tenim dos punts de la recta $b$, bisectriu de $r$ i $s$, i la podem construir amb el punt $P$ i el vector $\overrightarrow{PM}$: $$\overrightarrow{PM}=\Big(\dfrac{3\sqrt{2}+3\sqrt{5}-4\sqrt{10}}{6\sqrt{10}},\dfrac{6\sqrt{2}-3\sqrt{5}+10\sqrt{10} }{6\sqrt{10}}\Big)-\Big(-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}\Big)=$$ $$=\Big(\dfrac{3\sqrt{2}+3\sqrt{5}}{6\sqrt{10}},\dfrac{6\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{6\sqrt{10}}\Big)$$

I així la recta $b$ és: $$b:(x,y)=P+k\cdot\overrightarrow{PM}=\Big(-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}\Big)+k\cdot\Big(\dfrac{3\sqrt{2}+3\sqrt{5}}{6\sqrt{10}},\dfrac{6\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{6\sqrt{10}}\Big)$$