Angles entre rectes

Dues rectes secants $r$ i $s$ determinen quatre angles iguals dos a dos, això és perquè són angles oposats pel vèrtex. El més petit dels angles $\alpha$ i $\beta$ es defineix com l'angle entre les rectes $r$ i $s$.

En el cas del dibuix l'angle entre les rectes $r$ i $s$ seria $\widehat{rx}=b$.

Una manera de determinar aquest angle és a partir del producte escalar dels vectors directors de les rectes $r$ i $s$. Siguin $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ vectors directors de les rectes $r$ i $s$ respectivament.

El producte escalar dels vectors $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow {v}$ és:$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos \widehat{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})}$$Ara, fixem-nos que prenent un vector director de $r$ i un de $s$, l'angle format per aquests vectors coincideix amb l'angle entre les dues rectes, si és agut, o bé amb el seu suplementari si és obtús:

Per tant, el cosinus de l'angle entre les dues rectes coincidirà, exceptuant el signe, amb el de l'angle que formen els seus vectors directors, i per tant tenim que:$$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})}|$$Aquest últim pas és degut a que $$\cos (a) = - \cos (180 - a)$$ Així, si aïllem a la fórmula del producte escalar, $$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}$$Nota: El producte escalar entre dos vectors $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ i $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ es defineix com $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=u_1 \cdot v_1+u_2\cdot v_2$$Per tant, si recordem que l'expressió del mòdul d'un vector és $$\displaystyle |\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$Tenim que en coordenades l'expressió del cosinus de l'angle entre dues rectes és: $$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}=\frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Determina l'angle format per les rectes $r$ i $s$, les equacions de les quals són, respectivament, $3x - 2y - 1 = 0$ i $-x + 2y - 3 = 0$.

Siguin $\overrightarrow{u}= (2, 3)$ i $\overrightarrow{v} = (2, 1)$ vectors directors de les rectes $r$ i $s$ respectivament.

Llavors, aplicant la fórmula anterior tenim $$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}=\frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}=$$ $$=\displaystyle\frac{|2 \cdot 2+ 3\cdot 1|}{\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{7}{\sqrt{65}}$$ Per tant, si agafem la calculadora tenim que: $$\widehat{rs}=\arccos(\cos (\widehat{rs}))=\arccos \Big(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{65}}\Big)=29.7^\circ$$