Ángulos entre rectas

Dos rectas secantes $r$ y $s$ determinan cuatro ángulos iguales dos a dos; esto se debe a que son ángulos opuestos por el vértice. El más pequeño de los ángulos $\alpha$ y $\beta$ se define como el ángulo entre las rectas $r$ y $s$.

En el caso del dibujo el ángulo entre las rectas $r$ y $s$ sería $\widehat{rx}=b$.

Una forma de determinar dicho ángulo es a partir del producto escalar de los vectores directores de las rectas $r$ y $s$. Sean $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ vectores directores de las rectas $r$ y $s$ respectivamente.

El producto escalar de los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow {v}$ es:$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos \widehat{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})}$$ Ahora, fijémonos que tomando un vector director de $r$ y uno de $s$, el ángulo formado por dichos vectores coincide con el ángulo entre las dos rectas, si es agudo, o bien con su suplementario si es obtuso:

Por tanto, el coseno del ángulo entre las dos rectas coincidirá, exceptuando el signo, con el del ángulo que forman sus vectores directores, y por tanto tenemos que: $$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})}|$$Este último paso se debe a que $$\cos (a) = - \cos (180 - a)$$ Así, si aislamos en la formula del producto escalar, $$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}$$

Nota: El producto escalar entre dos vectores $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ y $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$ se define cómo $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=u_1 \cdot v_1+u_2\cdot v_2$$ Por tanto, si recordamos que la expresión del módulo de un vector es $$\displaystyle |\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$Tenemos que en coordenadas la expresión del coseno del ángulo entre dos rectas es: $$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}=\frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Determina el ángulo formado por las rectas $r$ y $s$, cuyas ecuaciones son, respectivamente, $3x - 2y - 1 = 0$ y $-x + 2y - 3 = 0$.

Sean $\overrightarrow{u}= (2, 3)$ y $\overrightarrow{v} = (2, 1)$ vectores directores de las rectas $r$ y $s$ respectivamente.

Entonces, aplicando la fórmula anterior tenemos $$\cos \widehat{(r,s)}=|\cos \widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}=\frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}=$$ $$=\displaystyle\frac{|2 \cdot 2+ 3\cdot 1|}{\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{7}{\sqrt{65}}$$ Por tanto, si cogemos la calculadora tenemos que $$\widehat{rs}=\arccos(\cos (\widehat{rs}))=\arccos \Big(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{65}}\Big)=29.7^\circ$$