Equacions paramètriques de la recta a l'espai

Desenvolupem l'equació vectorial de la recta $r$ expressada en components: $$\begin{array}{rcl}(x,y,z) &=& (a_1,a_2,a_3)+k\cdot (v_1,v_2,v_3) \\ (x,y,z) &=& (a_1,a_2,a_3)+ (k\cdot v_1,k\cdot v_2,k\cdot v_3)\\(x,y,z) &=& (a_1+k\cdot v_1,a_2+k\cdot v_2,a_3+ k\cdot v_3) \end{array}$$ i separant per components obtenim: $$\left.\begin{array}{rcl} x &=& a_1+k\cdot v_1 \\ y&=& a_2+k\cdot v_2 \\ z&=&a_3+k\cdot v_3\end{array}\right\}$$ Que són les conegudes com equacions paramètriques de la recta.

Trobeu les equacions paramètriques de la recta que passa pel punt $A = (-1, 1, 3)$ i que té $\overrightarrow{v}=(3,-2,1)$ per vector director.

L'equació vectorial és $$(x,y,z)=(-1,1,3)+k\cdot (3,-2,1)$$ Separant components obtenim: $$\left.\begin{array}{rcl} x &=& -1+3k \\ y&=& 1-2k \\ z&=&3+k\end{array}\right\}$$ que són les equacions paramètriques.