Distància entre recta i pla a l'espai

Fixem-nos en les posicions relatives entre una recta $r$ i un pla $\pi$ per calcular la distància entre ells:

• Si la recta està inclosa en el pla o si la recta i el plans són secants, la distància entre ambdós és zero, $\text{d}(r,\pi)= 0$
• Si la recta i el pla són paral·lels, la distància entre ambdós es calcula prenent un punt $P$ de la recta i calculant la distància de $P$ al pla. $$\text{d}(r,\pi)=\text{d}(P,\pi) \quad \text{ on } P\in r$$

Trobeu la distància entre la recta $r:x-2=y=z+1$ i el pla $\pi:x+y-2z+3=0$.

Comprovem que el pla i la recta són paral·lels mitjançant el producte escalar entre el vector director $\vec{v}$ de la recta i el vector normal al pla $\vec{n}$. Si recta i pla són paral·lels el producte escalar serà nul: $$\vec{v}\cdot\vec{n}=(1,1,1)\cdot(1,1,-2)=1+1-2=0$$

Efectivament són paral·lels així que busquem un punt de la recta, $Q=(2,0,-1)$, i apliquem la fórmula: $$\text{d}(r,\pi)=\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|1\cdot2+1\cdot0-2\cdot(-1)+3|} {\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{6}}$$