Distancia entre recta y plano en el espacio

Fijémonos en las posiciones relativas entre una recta y un plano para calcular la distancia entre ellos:

• Si la recta esta incluida en el plano o si la recta y el planos son secantes, la distancia entre ambos es cero, $\text{d}(r,\pi)= 0$
• Si la recta y el plano son paralelos, la distancia entre ambos se calcula tomando un punto $P$ de la recta y calculando la distancia de $P$ al plano. $$\text{d}(r,\pi)=\text{d}(P,\pi) \quad \text{ donde } P\in r$$

Encontrad la distancia entre la recta $r:x-2=y=z+1$ y el plano $\pi:x+y-2z+3=0$.

Comprobamos que el plano y la recta son paralelos mediante el producto escalar entre el vector director $\vec{v}$ de la recta y el vector normal al plano $\vec{n}$. Si recta y plano son paralelos dicho producto escalar será nulo: $$\vec{v}\cdot\vec{n}=(1,1,1)\cdot(1,1,-2)=1+1-2=0$$

Efectivamente son paralelos así que buscamos un punto de la recta, $Q=(2,0,-1)$, y aplicamos la fórmula: $$\text{d}(r,\pi)=\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|1\cdot2+1\cdot0-2\cdot(-1)+3|} {\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{6}}$$