Distància entre dos plans a l'espai

Per calcular la distància entre dos plans $\pi$ i $\pi'$ qualssevol, cal tenir en compte la seva posició relativa:

• Si els plans són coincidents o secants, la distància entre ells és zero, $\text{d}(\pi, \pi') = 0$.
• Si els plans són paral·lels, la distància entre ells es calcula prenent un punt qualsevol d'un d'ells i calculant la distància d'aquest punt a l'altre pla. $$\text{d}(\pi,\pi') = \text{d}(P,\pi') = \text{d}(\pi,P')$$ on $P\in\pi$ i $P'\in\pi'$.

Troba la distància entre els plans següents:

$$\pi: 2x - 4y + 4z +3 = 0 \qquad \pi': x - 2y + 2z -1 = 0$$

Comprovem que els plans siguin paral·lels: $$\dfrac{2}{1}=\dfrac{-4}{-2}=\dfrac{4}{2}$$

Efectivament.

Per tant, podem prendre el punt $P'= (1, 0, 0)$ pertanyent a $\pi'$ i fer: $$\text{d}(\pi,\pi')=\text{d}(P',\pi) = \dfrac{|2\cdot1-4\cdot0+4\cdot0+3|}{\sqrt{2^2+(-4)^2+4^2}}= \dfrac{5}{6}$$

Una altra bona manera de calcular la distància entre plans paral·lels, si els tenim expressats com:

$$\pi: Ax + By + Cz + D = 0 \qquad \pi': Ax + By + Cz + D' = 0$$

consisteix a utilitzar la seva distància a l'origen de coordenades, cosa que permet obtenir la següent expressió:

$$\text{d}(\pi,\pi') = \dfrac{|D-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$