Distancia entre dos planos en el espacio

Para calcular la distancia entre dos planos $\pi$ y $\pi'$ cualesquiera, hay que tener en cuenta su posición relativa:

• Si los planos son coincidentes o secantes, la distancia entre ellos es cero, $\text{d}(\pi, \pi') = 0$.
• Si los planos son paralelos, la distancia entre ellos se calcula tomando un punto cualquiera de uno de ellos y calculando la distancia de dicho punto al otro plano. $$\text{d}(\pi,\pi') = \text{d}(P,\pi') = \text{d}(\pi,P')$$ donde $P\in\pi$ y $P'\in\pi'$.

Encuentra la distancia entre los planos siguientes:

$$\pi: 2x - 4y + 4z +3 = 0 \qquad \pi': x - 2y + 2z -1 = 0$$

Comprobamos que los planos sean paralelos: $$\dfrac{2}{1}=\dfrac{-4}{-2}=\dfrac{4}{2}$$

Efectivamente.

Por tanto, podemos tomar el punto $P'= (1, 0, 0)$ perteneciente a $\pi'$ y hacer: $$\text{d}(\pi,\pi')=\text{d}(P',\pi) = \dfrac{|2\cdot1-4\cdot0+4\cdot0+3|}{\sqrt{2^2+(-4)^2+4^2}}= \dfrac{5}{6}$$

Otra buena manera de calcular la distancia entre planos paralelos, si los tenemos expresados como:

$$\pi: Ax + By + Cz + D = 0 \qquad \pi': Ax + By + Cz + D' = 0$$

Consiste en utilizar su distancia al origen de coordenadas, cosa que permite obtener la siguiente expresión:

$$\text{d}(\pi,\pi') = \dfrac{|D-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$