Distància d'un punt a una recta a l'espai
Donat el punt $P=(1, 2, 3)$, trobeu la distància d'aquest punt a la recta $r$:
$$r:(x,y,z)=(1,3,-2)+k\cdot(1,0,1)$$
Per trobar la distància a la recta, considerem el punt $Q=(1, 3, -2)$ i el vector director $\vec{v}= (1, 0, 1)$. Calculem ara el producte vectorial del vector $\overrightarrow{QP}$ per $\vec{v}$.
$$\overrightarrow{QP}=(0,-1,5)$$
$$\begin{array}{rl} |\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|=& \left| \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0& -1& 5 \\ 1& 0& 1 \end{vmatrix} \right| = |-i+5j+k|=|(-3,2,-1)| \\ =&\sqrt{1+25+1}=\sqrt{27} \end{array}$$
I ja podem aplicar la fórmula: $$\text{d}(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}= \dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\dfrac{27}{2}}$$
$$\text{d}(P,r)=\sqrt{\dfrac{27}{2}}$$