Distància d'un punt a una recta a l'espai

La distància entre un punt $P$ i una recta $r$, $\text{d}(P,r)$ és la mínima de les distàncies entre $P$ i un punt qualsevol de la recta $r$.

• Si $P$ és un punt de la recta $r$, la distància és zero.
• Si $P$ no és un punt de la recta $r$, la distància de $P$ a $r$ és el mòdul del vector $\overrightarrow{PP'}$, on $P'$ és la projecció ortogonal de $P$ sobre la recta $r$.

No obstant això, hi ha una manera més senzilla de calcular la distància d'un punt $P$ a una recta $r$ si el punt no pertany a la recta. Considerem un punt $Q$ sobre la recta $r$ i el vector director de la recta, $\vec{v}$. L'àrea del paral·lelogram determinat pel vector $\overrightarrow{QP}$ i per $\vec{v}$ és el mòdul del producte vectorial dels dos vectors: $$S_p=|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|$$

Però l'àrea d'un paral·lelogram també ve donada pel producte de la base per l'altura. Llavors: $$|S_p=|\vec{v}|\cdot\text{d}(P,r)$$

Per tant, $$\text{d}(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}$$

Calcula la distància del punt $P = (2, 4, 1)$ a la recta $r: (x, y, z) = (2, 3, -1) + k\cdot(1, 2, 1)$.

Agafem un punt de la recta, per exemple $Q = (2, 3, -1)$. Ara haurem de calcular el producte vectorial del vector $\overrightarrow{QP}$ per $\vec{v}$.

$$\overrightarrow{QP}=(0,1,2)$$

$$\begin{array}{rl} |\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|=& \left| \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0& 1& 2 \\ 1& 2& 1 \end{vmatrix} \right| = |i+2j-k-4i|=|-3i+2j-k| \\ =& |(-3,2,-1)|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14} \end{array}$$

i ja podem aplicar la fórmula:

$$\text{d}(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}= \dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{7}{3}}$$