Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia entre un punto $P$ y una recta $r$, $\text{d}(P,r)$ es la mínima de las distancias entre $P$ y un punto cualquiera de la recta $r$.

• Si $P$ es un punto de la recta $r$, la distancia es cero.
• Si $P$ no es un punto de la recta $r$, la distancia de $P$ a $r$ es el módulo del vector $\overrightarrow{PP'}$, donde $P'$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$.

Sin embargo, existe una manera más sencilla de calcular la distancia de un punto $P$ a una recta $r$ si el punto no pertenece a la recta. Consideremos un punto $Q$ sobre la recta $r$ y el vector director de la recta, $\vec{v}$. El área del paralelogramo determinado por el vector $\overrightarrow{QP}$ y por $\vec{v}$ es el módulo del producto vectorial de ambos vectores: $$S_p=|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|$$

Pero el área de un paralelogramo también viene dada por el producto de la base por la altura. Entonces: $$|S_p=|\vec{v}|\cdot\text{d}(P,r)$$

Por tanto, $$\text{d}(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}$$

Calcula la distancia del punto $P = (2, 4, 1)$ a la recta $r: (x, y, z) = (2, 3, -1) + k\cdot(1, 2, 1)$.

Cogemos un punto de la recta, por ejemplo $Q = (2, 3, -1)$. Ahora deberemos calcular el producto vectorial del vector $\overrightarrow{QP}$ per $\vec{v}$.

$$\overrightarrow{QP}=(0,1,2)$$

$$\begin{array}{rl} |\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|=& \left| \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0& 1& 2 \\ 1& 2& 1 \end{vmatrix} \right| = |i+2j-k-4i|=|-3i+2j-k| \\ =& |(-3,2,-1)|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14} \end{array}$$

y ya podemos aplicar la fórmula:

$$\text{d}(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}= \dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{7}{3}}$$