Funcions polinòmiques: constant, afí i quadràtica
Una funció polinòmica és una funció on l'expressió analítica ve donada per un polinomi: $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$$ amb $n \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, $a_n,a_{n-1},\ldots, a_1,,_a0 \in \mathbb{R}$ i $a_n\neq 0$ si $n\neq 0$.
Com els polinomis poden ser avaluats en qualsevol nombre real, tenim que el domini de les funcions polinòmiques és tot $\mathbb{R}$, és a dir, $Dom(f)=\mathbb{R}$.
La imatge d'aquest tipus de funcions no sempre és evident:
- Polinomi de grau senar: Aquest és el cas senzill ja que $Im(f)=\mathbb{R}$.
- Polinomi de grau parell: La imatge dependrà dels coeficients del polinomi, que determinaran orientació i extrems relatius. En el cas $n = 2$, és a dir funcions quadràtiques, només cal conèixer el vèrtex de la paràbola i tenir en compte la seva orientació.
Funció constant: $f (x) = k$
Es tracta d'una funció polinòmica de grau $0$. La seva gràfica és una recta horitzontal que passa per tots els punts d'ordenada $y=k$ (i per tant $Im (f) = k$).
Un exemple de funció constant és $f (x) =-1$:
Funció afí: $f (x) = ax + b$
Un requisit és que sigui $a\neq 0$. Es tracta d'una funció polinòmica de grau $1$. La seva gràfica és una recta que passa pel punt $(0, b)$ i la inclinació depèn del valor de $a$ (també conegut com pendent).
En el cas particular en què $b = 0$, es té la coneguda com a funció lineal: $f (x) = ax$. Aquesta funció és equivalent a la funció de proporcionalitat directa, on $a$ és la constant de proporcionalitat.
En el cas particular en què $a = 1$, obtenim la funció identitat, és a dir, $f (x) = x$ , la gràfica de la qual és la bisectriu del primer i del tercer quadrant.
Vegem un exemple: $f (x) = 3x - 1$.
Funció quadràtica: $f (x) = ax^2 + bx + c$
Per obtenir una funció quadràtica és necessari que $a\neq 0$. Es tracta d'una funció polinòmica de segon grau, la gràfica és una paràbola oberta cap amunt si $a> 0$, o bé cap avall si $a <0$.
El vèrtex d'aquesta paràbola és $\displaystyle \Big(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\Big)$.
El punt de tall amb l'eix vertical és $c$. Els punts de tall amb l'eix horitzontal són les solucions de l'equació de segon grau corresponent.
Un exemple de funció quadràtica és $f(x) =x^2-2x+1$.