Funciones polinómicas: constante, afín y cuadrática
Una función polinómica es una función cuya expresión analítica viene dada por un polinomio: $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$$ con $n \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, $a_n,a_{n-1},\ldots, a_1,,_a0 \in \mathbb{R}$ y $a_n\neq 0$ si $n\neq 0$.
Como los polinomios pueden ser evaluados en cualquier número real, tenemos que el dominio de las funciones polinómicas es todo $\mathbb{R}$, es decir $Dom(f)=\mathbb{R}$.
La imagen de este tipo de funciones no siempre es evidente:
- Polinomio de grado impar: Este es el caso sencillo ya que $Im(f)=\mathbb{R}$.
- Polinomio de grado par: La imagen dependerá de los coeficientes del polinomio, que determinarán orientación y extremos relativos. En el caso $n = 2$, es decir funciones cuadráticas, basta con conocer el vértice de la parábola y tener en cuenta su orientación.
Función constante: $f (x) = k$
Se trata de una función polinómica de grado $0$. Su gráfica es una recta horizontal que pasa por todos los puntos de ordenada $y=k$ (y por tanto $Im (f) = k$).
Un ejemplo de función constante es $f (x) =-1$:
Función afín: $f (x) = ax + b$
Un requisito es que sea $a\neq 0$. Se trata de una función polinómica de grado $1$. Su gráfica es una recta que pasa por el punto $(0, b)$ y cuya inclinación depende del valor de $a$ (también conocido cómo pendiente).
En el caso particular en que $b = 0$, se tiene la conocida como función lineal: $f (x) = ax$. Esta función es equivalente a la función de proporcionalidad directa, donde $a$ es la constante de proporcionalidad.
En el caso particular en que $a = 1$, obtenemos la función identidad, es decir, $f (x) = x$ , cuya gráfica es la bisectriz del primer y del tercer cuadrante.
Un ejemplo de función afín es $f (x) = 3x - 1$.
Función cuadrática: $f (x) = ax^2 + bx + c$
Para obtener una función cuadrática es necesario que $a\neq 0$. Se trata de una función polinómica de segundo grado, cuya gráfica es una parábola abierta hacia arriba si $a> 0$, o bien hacia abajo si $a <0$.
El vértice de dicha parábola es $\displaystyle \Big(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\Big)$.
El punto de corte con el eje vertical es $c$. Los puntos de corte con el eje horizontal son las soluciones de la ecuación de segundo grado correspondiente.
Un ejemplo de función cuadrática es $f(x) =x^2-2x+1$.