Funcions irracionals
Una funció irracional és una funció on en l'expressió analítica la variable independent $x$ apareix dins del símbol de l'arrel.
En aquest apartat considerarem únicament funcions irracionals del tipus $$\displaystyle f(x)=\sqrt[n]{g(x)}$$ amb $g(x)$ una funció racional.
- Si l'índex $n$ de l'arrel és senar, és possible calcular la imatge de qualsevol nombre real, sempre i quan l'expressió g(x) sigui un nombre real, és a dir, $Dom(f)=Dom(g)$.
- Si l'índex $n$ de l'arrel és parell, per poder calcular imatges necessitem que $g (x)$ sigui positiva o zero, ja que les arrels parells d'un nombre negatiu no són nombres reals. Per tant el domini de $f$ són les solucions de la inequació $g(x) \geq 0$. En altres paraules, $Dom (f) = \{x \in \mathbb{R} \mid g(x) \geq 0\}$.
Estudiem ara el cas més simple de funció irracional: la funció arrel quadrada $\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$.
Es tracta d'una funció en què l'índex de l'arrel és $2$. Per tant, el seu domini és el conjunt de solucions de la inequació $x \geq 0$. Així tenim $Dom (f) = [0, +\infty)$ La imatge de la funció arrel quadrada és, com en el cas del domini, el conjunt dels reals més grans o igual que zero, $Im (f) = [0, +\infty)$
Vegem la seva representació gràfica:
