Funcions exponencials
La funció que assigna a la variable independent $x$ el valor de $f(x)=a^x$ s'anomena funció exponencial de base $a$, on $a$ és un nombre real positiu diferent d'$1$.
Així, per exemple, les funcions $f(x)=3^x$ i $h(x)=0.8^x$ són funcions exponencials de base $3$ i $0,8$ respectivament.
En particular, la funció exponencial de base $e$, $f(x)=e^x$, és especialment important ja que descriu el comportament de diverses situacions reals: evolució de poblacions, desintegració radioactiva, ...
Gràfica
La gràfica de la funció exponencial varia segons si la base $a$ és major o menor que $1$ (recordem que sempre ha de ser major que zero i que no pot ser $1$).
Vegem a continuació les gràfiques de $f(x)=3^x$ i $h(x)=\displaystyle \Big(\frac{1}{3}\Big)^x$ per il·lustrar aquest fenomen.
És destacable que la gràfica d'una funció exponencial sempre passa pel punt $(0, 1)$.
$$f(x)=3^x$$
$$f(x)=\displaystyle \Big(\frac{1}{3}\Big)^x$$
Propietats
A partir de la seva representació gràfica observem que les funcions exponencials compleixen les propietats següents:
- Domini: $Dom (f) = \mathbb{R}$
- Imatge: $Im (f) = (0, +\infty)$
- Cotes:acotada inferiorment per $0$
- Intersecció amb els eixos: Talla amb l'eix vertical en $y = 1$. No talla l'eix horitzontal.
- Continuïtat: És contínua en tot $\mathbb{R}$
- Asímptotes: La recta $y = 0$ és una asímptota horitzontal (però només en un extrem)
- Periodicitat:No és periòdica.
- Simetries: No és simètrica.
- Monotonia: Si $a> 1$, la funció és estrictament creixent. Si $a <1$, la funció és estrictament decreixent.
- Extrems relatius: No en té.
- Injectivitat i exhaustivitat: És injectiva (les imatges de punts diferents són diferents), però no és exhaustiva ja que la imatge no és tot $\mathbb{R}$