Funciones exponenciales
La función que asigna a la variable independiente $x$ el valor de $f(x)=a^x$ se llama función exponencial de base $a$, donde $a$ es un número real positivo distinto de $1$.
Así, por ejemplo, las funciones $f(x)=3^x$ y $h(x)=0.8^x$ son funciones exponenciales de base $3$ y $0.8$ respectivamente.
En particular, la función exponencial de base $e$, $f(x)=e^x$, es especialmente importante ya que describe el comportamiento de varias situaciones reales: evolución de poblaciones, desintegración radioactiva,...
Gráfica
La gráfica de la función exponencial varía según si la base $a$ es mayor o menor que $1$ (recordemos que siempre ha de ser mayor que cero y que no puede ser $1$).
Veamos a continuación las gráficas de $f(x)=3^x$ y $h(x)=\displaystyle \Big(\frac{1}{3}\Big)^x$ para ilustrar este fenómeno.
Es destacable que la gráfica de una función exponencial siempre pasa por el punto $(0, 1)$.
$$f(x)=3^x$$
$$f(x)=\displaystyle \Big(\frac{1}{3}\Big)^x$$
Propiedades
A partir de su representación gráfica observamos que las funciones exponenciales cumplen las propiedades siguientes:
- Dominio: $Dom (f) = \mathbb{R}$
- Imagen: $Im (f) = (0, +\infty)$
- Cotas:acotada inferiormente por $0$
- Intersección con los ejes:Corta con el eje vertical en $y = 1$. No corta el eje horizontal.
- Continuidad:Es continua en todo $\mathbb{R}$
- Asíntotas:La recta $y = 0$ es una asíntota horizontal (pero sólo en un extremo)
- Periodicidad:No es periódica.
- Simetrías: No es simétrica.
- Monotonía: Si $a> 1$, la función es estrictamente creciente. Si $a <1$, la función es estrictamente decreciente.
- Extremos relativos:No tiene.
- Inyectividad y exhaustividad: Es inyectiva (las imágenes de puntos diferentes son diferentes), pero no es exhaustiva ya que la imagen no es todo $\mathbb{R}$