Funcions definides a trossos
Una funció definida a trossos és una funció l'expressió analítica de la qual no és única sinó que depèn del valor de la variable independent.
Així la funció definida per $$f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x-1 & \mbox{ si } & x \leq -3 \\ 3 & \mbox{ si } & -1 < x < 1 \\ x-2 & \mbox{ si } & x\geq 1 \end{array}\right.=\left\{\begin{array}{rcl} -x-1 & \mbox{ si } & x\in (-\infty,3] \\ 3 & \mbox{ si } & x\in (-1,1)\\ x-2 & \mbox{ si } & x\in [1, +\infty]\end{array}\right.$$ és una funció definida a trossos.
Per calcular la imatge d'un element $x$ observem a quin interval pertany i el substituïm en l'expressió analítica corresponent a aquest interval.
En el cas anterior per exemple,
- si $x=-4$, substituïm en $f(x)=-x-1$ i obtenim $f(-4)=3$
- si $x=-2$, la imatge no està definida ja que $-2$ no pertany a cap interval de definició de la funció.
- si $x=0.5$, substituïm en $f(x)=3$ obtenim $f(0.5)=3$
- si $x=1$ substituïm en $f(X)=x-2$ obtenim $f(1)=-1$
Com les expressions que defineixen cada un dels trossos tenen com a domini com a mínim el mateix tros, el domini de la funció $f(x)$ està format per la unió dels intervals de definició de la funció. $$Dom(f)=(-\infty,-3] \cup (-1,1)\cup [1,+\infty)=(-\infty,-3]\cup (-1,+ \infty)$$ Si ens fixem ara en el gràfic de la funció anterior que presentem a continuació, podem observar que $Im (f)=[-1,+\infty)$:
Vegem uns exemples de funcions definides a trossos:
Considerem la funció $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} 1 & \mbox{ si } & x\leq 2 \\ 2 & \mbox{ si } & x > 2\end{array}\right.$.
La seva gràfica és la unió de les gràfiques de les funcions $f(x)=1$ per $x \leq 2$ i $f(x)=2$ per $x>2$.
La representació gràfica seria:
Considerem la funció $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x & \mbox{ si } & x\leq -1 \\ x^2 & \mbox{ si } & -1 < x < 1 \\ x & \mbox{ si } & x \geq 1 \end{array}\right.$
Aquesta vegada la seva gràfica serà la unió d'una recta, una paràbola i una altra recta, definides cadascuna on indica la funció.
$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} 2x-1 & \mbox{ si } & x < 1 \\ x+3 & \mbox{ si } & x > 1 \end{array}\right.$$
i si volem avaluar en $x=-1$ obtindrem: $f(-1)=f_1(-1)=2(-1)=2(-1)-1=-2-1=-3$
$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x-1 & \mbox{ si } & x<-3 \\ x^2+1 & \mbox{ si } & -3\leq < 0 \\ 3 & \mbox{ si } &0 \leq x \leq 100 \\ \ln(x+e^x) & \mbox{ si } x>100 \end{array}\right.$$
i si volem avaluar en $x=-1$ obtindrem: $f(-1)=f_2(-1)=(-1)^2+1=1+1=2$
El següent exemple no seria una funció definida a trossos ja que els conjunts de definició de les subfuncions no són disjunts: $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{ si } & x < 0 \\ x+1 & \mbox{ si } & -1 < x < 2 \\ -3 & \mbox{ si } x\geq 2 \end{array}\right.$$
ja que per punts en $(-1,0)$ s'hauria d'avaluar la funció en $f_1(x)=x$ i en $f_2(x)=x+1$, i com obtindríem dos valors per a un sol punt, això no compliria la definició de funció.