Funció constant, lineal i afí
Funció constant
És una funció del tipus $f(x) = k$ on $k$ és un nombre real qualsevol. Fixem-nos que el valor de $f(x)$ és sempre $k$, independentment del valor de $x$.
Així, per exemple, si volguéssim representar una quantitat que es manté constant al llarg del temps $t$, utilitzaríem una funció constant $f(t)=k$, en què no apareix la variable $t$.
Les funcions constants tallen l'eix vertical en el valor de la constant i són paral·leles a l'eix horitzontal (i per tant no ho tallen).
La gràfica d'una funció constant, per exemple $f (x) = 2$, és:
Funció lineal
La funció de variable real que té per equació general $y = mx$, la gràfica és una recta que passa per l'origen de coordenades, es diu funció lineal.
En les funcions lineals d'aquest tipus $(y = mx)$, el valor de m, que correspon a un nombre real, es diu pendent. El pendent mesura la inclinació de la recta respecte de l'eix d'abscisses.
El pendent de la recta $y = -2x$ és $-2$.
El pendent de la recta $y = 0$ és $0$.
El pendent de la recta $y = 3x$ és $3$.
És important entendre que com més gran és el valor del pendent m, major inclinació respecte l'eix horitzontal té la recta. A més,
Si $m$ és positiu ($m> 0$), la recta passa pel primer i pel tercer quadrants.
Si $m$ és negatiu ($m <0$), la recta passa pel segon i quart quadrants.
Si $m$ és zero ($m = 0$), la recta és horitzontal i coincideix amb l'eix d'abscisses.
El pendent d'una recta també pot ser calculat a partir de les coordenades d'un punt de la recta per a una funció lineal, i de les coordenades de dos punts en general d'una recta qualsevol.
Vegem la manera general ja que ens servirà també per a les funcions afins:
Donats dos punts d'una recta (sigui una funció lineal o afí), $(x_1, y_1)$ i $(x_2,y_2)$, podem calcular el pendent d'aquesta recta mitjançant l'expressió: $$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Donada la següent recta que passa pel punt $(2,-1)$:
podem calcular el pendent, ja que a més del punt $A$, sabem que passa per l'origen. Així, aplicant la fórmula: $$\displaystyle m=\frac{-1-0}{2-0}=-\frac{1}{2}$$
Funció afí
La funció de variable real que té com a equació general $y = mx + n$, la gràfica és una recta que no passa per l'origen (si $n\neq 0$), s'anomena funció afí.
Com en el cas anterior, $m$ és el pendent de la recta.
És destacable també que el punt de tall d'una funció afí $f(x) = mx + n$ amb l'eix d'ordenades és el punt $(0, n)$.
Un exemple de funció afí podria ser $f (x) = -x +2$
Donades les següents funcions, determineu de quin tipus són, en quin punt tallen l'eix d'ordenades, el d'abscisses, i quin és el seu pendent.
$f (x) = 2$
$f (x) = 2x$
$f (x) = 2x +2$
Es tracta d'una funció constant. El seu pendent és $0$ i per tant és paral·lela a l'eix d'abscisses. Talla l'eix vertical en $(0,2)$.
Es tracta d'una funció lineal. El seu pendent és $2$. Talla dos eixos en el punt $(0,0)$.
Es tracta d'una funció afí. El seu pendent és $2$. Talla l'eix vertical en el punt $(0, 2)$, i l'eix horitzontal en $(-1, 0)$ (fem $y = 0 = 2x + 2$ i resolem).