Función constante, lineal y afín
Función constante
Es una función del tipo $f (x) = k$, donde $k$ es un número real cualquiera. Fijémonos en que el valor de de $f (x)$ es siempre $k$, independientemente del valor de $x$.
Así, por ejemplo, si quisiésemos representar una cantidad que se mantiene constante a lo largo del tiempo $t$, utilizaríamos una función constante $f(t) = k$, en la que no aparece la variable $t$.
Las funciones constantes cortan el eje vertical en el valor de la constante y son paralelas al eje horizontal (y por tanto no lo cortan).
La gráfica de una función constante, por ejemplo $f (x) = 2$, es:
Función lineal
La función de variable real que tiene por ecuación general $y= mx$, cuya gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, se llama función lineal.
En las funciones lineales de este tipo $(y = mx)$, el valor de m, que corresponde a un número real, se llama pendiente. El pendiente mide la inclinación de la recta respecto del eje de abscisas.
El pendiente de la recta $y = -2x$ es $-2$.
El pendiente de la recta $y = 0$ es $0$.
El pendiente de la recta $y = 3x$ es $3$.
Es importante entender que como mayor es el valor del pendiente $m$, mayor inclinación respecto el eje horizontal posee la recta. Además,
Si $m$ es positivo ($m> 0$), la recta pasa por el primer y por el tercer cuadrantes.
Si $m$ es negativo ($m <0$), la recta pasa por el segundo y cuarto cuadrantes.
Si $m$ es cero ($m = 0$), la recta es horizontal y coincide con el eje de abscisas.
El pendiente de una recta también puede ser calculado a partir de las coordenadas de un punto de la recta para una función lineal, y de las coordenadas de dos puntos en general para una recta cualquiera.
Veamos la manera general ya que nos servirá también para las funciones afines:
Dados dos puntos de una recta (sea una función lineal o afín), $(x_1, y_1)$ y $(x_2,y_2)$, podemos calcular el pendiente de dicha recta mediante la expresión: $$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Dada la siguiente recta que pasa por el punto $(2,-1)$:
podemos calcular el pendiente, ya que además del punto $A$, sabemos que pasa por el origen. Así, aplicando la fórmula: $$\displaystyle m=\frac{-1-0}{2-0}=-\frac{1}{2}$$
Función afín
La función de variable real que tiene como ecuación general $y = mx + n$, cuya gráfica es una recta que no pasa por el origen (si $n\neq 0$), se llama función afín.
Como en el caso anterior, $m$ es el pendiente de la recta.
Es destacable también que el punto de corte de una función afín $f(x) = mx + n$ con el eje de ordenadas es el punto $(0, n)$.
Un ejemplo de función afín podría ser $f (x) = -x +2$
Dadas las siguientes funciones, determinad de qué tipo son, en qué punto cortan el eje de ordenadas, el de abscisas, y cuál es su pendiente.
$f (x) = 2$
$f (x) = 2x$
$f (x) = 2x +2$
Se trata de una función constante. Su pendiente es $0$ y por tanto es paralela al eje de abscisas. Corta el eje vertical en $(0,2)$.
Se trata de una función lineal. Su pendiente es $2$. Corta ambos ejes en el punto $(0,0)$.
Se trata de una función afín. Su pendiente es $2$. Corta el eje vertical en el punto $(0, 2)$, y el eje horizontal en $(-1, 0)$ (hacemos $y = 0 = 2x + 2$ y resolvemos).